Номер 18, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

18*. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 8 м, 10 м и меньшей диагональю 6 м. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с точкой пересечения диагоналей основания, перпендикулярен этим диагоналям и равен 4 м. Найдите:

а) боковые рёбра пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Обозначим пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ — параллелограмм в основании. Пусть стороны параллелограмма равны $a = AB = CD = 10$ м и $b = BC = DA = 8$ м. Меньшая диагональ, согласно условию, равна $d_1 = 6$ м. Пусть это будет диагональ $AC$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Отрезок $SO$, соединяющий вершину пирамиды $S$ с точкой $O$, перпендикулярен диагоналям, а значит, и всей плоскости основания. Следовательно, $SO$ — высота пирамиды, и ее длина $H = SO = 4$ м.

а) боковые рёбра пирамиды;

Боковыми рёбрами пирамиды являются отрезки $SA, SB, SC, SD$. Поскольку $SO$ перпендикулярна плоскости основания, треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$. Для нахождения длин боковых рёбер воспользуемся теоремой Пифагора.

1. Найдём половины диагоналей основания. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. $AO = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ м.

2. Найдём длину второй диагонали $BD$, используя свойство параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$ $6^2 + BD^2 = 2(10^2 + 8^2)$ $36 + BD^2 = 2(100 + 64) = 2 \cdot 164 = 328$ $BD^2 = 328 - 36 = 292$ $BD = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$ м.

3. Найдём половину диагонали $BD$: $BO = OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{73} = \sqrt{73}$ м.

4. Теперь вычислим длины боковых рёбер: Из $\triangle SOA$: $SA^2 = SO^2 + AO^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, откуда $SA = 5$ м. Поскольку $OC = AO$, то $SC = SA = 5$ м. Из $\triangle SOB$: $SB^2 = SO^2 + BO^2 = 4^2 + (\sqrt{73})^2 = 16 + 73 = 89$, откуда $SB = \sqrt{89}$ м. Поскольку $OD = BO$, то $SD = SB = \sqrt{89}$ м.

Ответ: Два боковых ребра равны 5 м, два других — $\sqrt{89}$ м.

б) боковую поверхность пирамиды;

Боковая поверхность пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырёх боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SDA}$. Поскольку противоположные стороны основания равны ($AB = CD, BC = DA$) и соответствующие им боковые рёбра также попарно равны ($SA=SC, SB=SD$), то противоположные боковые грани являются конгруэнтными треугольниками: $\triangle SAB \cong \triangle SCD$ и $\triangle SBC \cong \triangle SDA$. Следовательно, $S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC}$.

Для нахождения площадей этих треугольников найдём их высоты, опущенные из вершины $S$ (апофемы). 1. Сначала найдём площадь основания $S_{осн}$. Основание состоит из двух конгруэнтных треугольников, например, $\triangle ABC$ со сторонами $10$ м, $8$ м, $6$ м. Вычислим его площадь по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{10+8+6}{2} = 12$ м. $S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{12(12-10)(12-8)(12-6)} = \sqrt{12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6} = \sqrt{576} = 24$ м$^2$. Площадь основания: $S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle ABC} = 2 \cdot 24 = 48$ м$^2$.

2. Найдём высоты параллелограмма, чтобы определить расстояния от точки $O$ до сторон основания. Высота к стороне $AB=10$ м: $H_{AB} = \frac{S_{осн}}{AB} = \frac{48}{10} = 4.8$ м. Расстояние от $O$ до $AB$ равно $d(O, AB) = \frac{1}{2}H_{AB} = 2.4$ м. Высота к стороне $BC=8$ м: $H_{BC} = \frac{S_{осн}}{BC} = \frac{48}{8} = 6$ м. Расстояние от $O$ до $BC$ равно $d(O, BC) = \frac{1}{2}H_{BC} = 3$ м.

3. Найдём апофемы (высоты боковых граней), используя теорему о трёх перпендикулярах. Апофема к стороне $AB$, $h_{S, AB}$: $h_{S, AB}^2 = SO^2 + d(O, AB)^2 = 4^2 + 2.4^2 = 16 + 5.76 = 21.76$. $h_{S, AB} = \sqrt{21.76} = \sqrt{\frac{2176}{100}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 34}}{10} = \frac{8\sqrt{34}}{10} = \frac{4\sqrt{34}}{5}$ м. Апофема к стороне $BC$, $h_{S, BC}$: $h_{S, BC}^2 = SO^2 + d(O, BC)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. $h_{S, BC} = \sqrt{25} = 5$ м.

4. Вычислим площади боковых граней. $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{S, AB} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{4\sqrt{34}}{5} = 4\sqrt{34}$ м$^2$. $S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{S, BC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ м$^2$.

5. Найдём площадь боковой поверхности. $S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot 4\sqrt{34} + 2 \cdot 20 = 8\sqrt{34} + 40$ м$^2$.

Ответ: $40 + 8\sqrt{34}$ м$^2$.

в) полную поверхность пирамиды.

Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ — это сумма площади боковой поверхности и площади основания. $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$ Мы уже вычислили обе величины: $S_{бок} = 40 + 8\sqrt{34}$ м$^2$. $S_{осн} = 48$ м$^2$. $S_{полн} = (40 + 8\sqrt{34}) + 48 = 88 + 8\sqrt{34}$ м$^2$. Это можно записать как $8(11 + \sqrt{34})$ м$^2$.

Ответ: $88 + 8\sqrt{34}$ м$^2$.