Номер 20, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

20*. Основанием пирамиды является ромб со стороной 15 см и меньшей диагональю 18 см. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с точкой пересечения диагоналей, перпендикулярен им и равен 12 см. Найдите высоты граней пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является ромб $ABCD$ со стороной $a=15$ см и меньшей диагональю $d_1 = AC = 18$ см. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей ромба, а $S$ — вершина пирамиды.

Согласно условию, отрезок $SO$, соединяющий вершину пирамиды с точкой пересечения диагоналей, перпендикулярен им. Это означает, что $SO$ является высотой пирамиды, и ее длина $H = SO = 12$ см. Так как высота пирамиды опущена в центр основания (точку пересечения диагоналей ромба), который равноудален от всех сторон ромба, то все боковые грани наклонены к основанию под одним углом. Следовательно, высоты всех боковых граней (апофемы) равны между собой.

Для нахождения высоты боковой грани, найдем сначала вторую диагональ ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. Катет $AO$ равен половине меньшей диагонали: $AO = \frac{d_1}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см. Гипотенуза $AB$ является стороной ромба, $AB = 15$ см. По теореме Пифагора найдем катет $BO$: $BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см. Тогда вторая диагональ $d_2 = BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Теперь найдем высоту боковой грани, например, грани $SAB$. Обозначим эту высоту $SK$, где $K$ — основание высоты на стороне $AB$. $SK$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $SOK$, где $SO$ — высота пирамиды, а $OK$ — перпендикуляр, опущенный из центра ромба $O$ на сторону $AB$.

Найдем длину катета $OK$. В треугольнике $AOB$ отрезок $OK$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AB$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами: $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ см$^2$. $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot OK$. Приравняв выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot OK = 54 \implies 15 \cdot OK = 108 \implies OK = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7.2$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $SOK$ по теореме Пифагора найдем гипотенузу $SK$: $SK^2 = SO^2 + OK^2$. Для точности вычислений будем использовать обыкновенные дроби: $SK^2 = 12^2 + \left(\frac{36}{5}\right)^2 = 144 + \frac{1296}{25} = \frac{144 \cdot 25 + 1296}{25} = \frac{3600 + 1296}{25} = \frac{4896}{25}$. $SK = \sqrt{\frac{4896}{25}} = \frac{\sqrt{4896}}{5}$. Упростим корень из числителя: $\sqrt{4896} = \sqrt{144 \cdot 34} = 12\sqrt{34}$. Следовательно, высота боковой грани: $SK = \frac{12\sqrt{34}}{5}$ см.

Так как высоты всех боковых граней равны, то мы нашли искомую величину.

Ответ: $\frac{12\sqrt{34}}{5}$ см.