Номер 14, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

14. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — $\sqrt{69}$ см. Найдите:

а) боковое ребро и апофему пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

а) боковое ребро и апофему пирамиды;

Пусть $a=10$ см – сторона основания правильной шестиугольной пирамиды, а $h=\sqrt{69}$ см – ее высота.
Боковое ребро $l$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $h$, радиусом описанной окружности основания $R$ и самим боковым ребром, которое является гипотенузой. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне, поэтому $R = a = 10$ см.
По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + R^2 = (\sqrt{69})^2 + 10^2 = 69 + 100 = 169$.
Отсюда боковое ребро $l = \sqrt{169} = 13$ см.
Апофему пирамиды $A$ (высоту боковой грани) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $h$, радиусом вписанной окружности основания $r$ и самой апофемой, которая является гипотенузой. Радиус вписанной окружности для правильного шестиугольника вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$r = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.
По теореме Пифагора: $A^2 = h^2 + r^2 = (\sqrt{69})^2 + (5\sqrt{3})^2 = 69 + 25 \cdot 3 = 69 + 75 = 144$.
Отсюда апофема $A = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: боковое ребро равно 13 см, апофема пирамиды равна 12 см.

б) боковую поверхность пирамиды;

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания $P_{осн}$ на апофему $A$.
Периметр основания: $P_{осн} = 6 \cdot a = 6 \cdot 10 = 60$ см.
Апофема, найденная в пункте а), равна $A = 12$ см.
Подставляем значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot A = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360$ см².
Ответ: $360$ см².

в) полную поверхность пирамиды.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади основания $S_{осн}$.
$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.
Площадь основания (правильного шестиугольника) вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 10^2 = \frac{3\sqrt{3} \cdot 100}{2} = 150\sqrt{3}$ см².
Используя значение $S_{бок}$ из пункта б), находим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 360 + 150\sqrt{3}$ см².
Ответ: $(360 + 150\sqrt{3})$ см².