Номер 15, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

15. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 26 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — 10 см. Найдите:

а) боковое ребро и сторону основания пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды $H = SO = 10$ см. Апофема пирамиды (высота боковой грани) $l_a = SM = 26$ см, где $M$ — середина стороны основания, например, $AB$.

а) боковое ребро и сторону основания пирамиды;

1. Для нахождения стороны основания рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$, образованный высотой пирамиды $SO$, апофемой пирамиды $SM$ и апофемой основания $OM$. Катеты этого треугольника — $SO$ и $OM$, гипотенуза — $SM$. По теореме Пифагора: $SM^2 = SO^2 + OM^2$. Найдем длину апофемы основания $OM$: $OM = \sqrt{SM^2 - SO^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

2. Апофема правильного шестиугольника ($OM$) связана с его стороной $a$ соотношением $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Выразим сторону основания $a$: $a = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 24}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ см.

3. Боковое ребро пирамиды $l$ (например, $SA$) можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle SAM$, где катеты — апофема пирамиды $SM$ и половина стороны основания $AM = \frac{a}{2}$. $AM = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см. По теореме Пифагора: $l^2 = SA^2 = SM^2 + AM^2$. $l^2 = 26^2 + (8\sqrt{3})^2 = 676 + 64 \cdot 3 = 676 + 192 = 868$. $l = \sqrt{868} = \sqrt{4 \cdot 217} = 2\sqrt{217}$ см.

Ответ: сторона основания равна $16\sqrt{3}$ см, боковое ребро равно $2\sqrt{217}$ см.

б) боковую поверхность пирамиды;

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l_a$, где $P$ — периметр основания, а $l_a$ — апофема пирамиды. Периметр основания (правильного шестиугольника со стороной $a = 16\sqrt{3}$ см) равен: $P = 6a = 6 \cdot 16\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$ см. Апофема пирамиды дана по условию: $l_a = 26$ см. Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 96\sqrt{3} \cdot 26 = 48\sqrt{3} \cdot 26 = 1248\sqrt{3}$ см².

Ответ: $1248\sqrt{3}$ см².

в) полную поверхность пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды — это сумма площади боковой поверхности и площади основания: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$. Площадь основания (правильного шестиугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$. Подставим значение стороны $a = 16\sqrt{3}$ см: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (16\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (256 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 768 = 3\sqrt{3} \cdot 384 = 1152\sqrt{3}$ см². Теперь найдем площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 1248\sqrt{3} + 1152\sqrt{3} = (1248 + 1152)\sqrt{3} = 2400\sqrt{3}$ см².

Ответ: $2400\sqrt{3}$ см².