Номер 1, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Ответьте, какая — плоская или пространственная — ломаная изображена на рисунке:

а) 31;

б) 32;

в) 33;

г) 34;

д) 35;

е) 36.

Рис. 31

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

а) 31;

Ломаная, изображенная на рисунке 31, это ломаная A-B-C. Ее вершины — это точки A, B и C. Любые три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Вершины A, B и C куба не лежат на одной прямой, следовательно, они лежат в одной плоскости. Ломаная, все вершины которой лежат в одной плоскости, называется плоской.

Ответ: плоская.

б) 32;

Ломаная, изображенная на рисунке 32, это ломаная P-S-R-Q. Ее вершины — это точки P, S, R и Q. Точки P, S и R лежат в плоскости верхнего основания призмы. Точка Q лежит в плоскости нижнего основания призмы. Так как верхнее и нижнее основания призмы являются разными параллельными плоскостями, точка Q не лежит в плоскости, содержащей точки P, S и R. Следовательно, не все вершины ломаной лежат в одной плоскости. Такая ломаная называется пространственной.

Ответ: пространственная.

в) 33;

Ломаная, изображенная на рисунке 33, это ломаная K-L-M. Ее вершины — это точки K, L и M. Эти три точки являются вершинами грани KLM тетраэдра и не лежат на одной прямой. Три точки, не лежащие на одной прямой, всегда задают плоскость. Таким образом, все вершины ломаной K-L-M лежат в одной плоскости (плоскости грани KLM). Следовательно, ломаная является плоской.

Ответ: плоская.

г) 34;

Ломаная, изображенная на рисунке 34, это ломаная V-R-U-T. Ее вершины — это точки V, R, U и T. Из рисунка видно, что точки V и U лежат в некоторой плоскости $\alpha$ (плоскости голубого треугольника). Точка R находится по одну сторону от этой плоскости, а точка T — по другую. Если бы все четыре точки лежали в одной плоскости, то эта плоскость должна была бы совпадать с плоскостью $\alpha$, так как содержит точки V и U. Но в этом случае точки R и T также должны были бы лежать в плоскости $\alpha$, что противоречит условию. Следовательно, точки V, R, U, T не лежат в одной плоскости, и ломаная является пространственной.

Ответ: пространственная.

д) 35;

Ломаная, изображенная на рисунке 35, это ломаная P-E-L. Ее вершины — это точки P, E и L. Точки P, E и L не лежат на одной прямой. Любые три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость. Следовательно, все вершины ломаной P-E-L лежат в одной плоскости. Эта плоскость образует сечение призмы. Ломаная является плоской.

Ответ: плоская.

е) 36;

Ломаная, изображенная на рисунке 36, это ломаная X-Y-Z-T. Ее вершины — это точки X, Y, Z и T. Чтобы определить, является ли ломаная плоской, нужно проверить, лежат ли все четыре ее вершины в одной плоскости. Введем систему координат с началом в одной из вершин призмы и осями, направленными вдоль ее ребер. Пусть ребро куба равно $a$. Расположим начало координат в левой нижней задней вершине. Тогда координаты точек можно представить следующим образом (согласно рисунку):

• X лежит на переднем левом вертикальном ребре: $X(0, a, z_X)$
• Y — верхняя передняя правая вершина: $Y(a, a, a)$
• Z лежит на заднем правом вертикальном ребре: $Z(a, 0, z_Z)$
• T лежит на нижнем переднем горизонтальном ребре: $T(x_T, a, 0)$

Для проверки компланарности (принадлежности одной плоскости) четырех точек, можно составить из них три вектора с общим началом, например, в точке Y, и найти их смешанное произведение. Если оно равно нулю, точки компланарны.

$\vec{YX} = X - Y = (-a, 0, z_X - a)$

$\vec{YZ} = Z - Y = (0, -a, z_Z - a)$

$\vec{YT} = T - Y = (x_T - a, 0, -a)$

Смешанное произведение $(\vec{YX} \times \vec{YZ}) \cdot \vec{YT}$ равно определителю матрицы, составленной из координат векторов:

$V = \begin{vmatrix} -a & 0 & z_X - a \\ 0 & -a & z_Z - a \\ x_T - a & 0 & -a \end{vmatrix}$

Раскроем определитель по второму столбцу:

$V = -a \cdot \begin{vmatrix} -a & z_X - a \\ x_T - a & -a \end{vmatrix} = -a ((-a)(-a) - (z_X - a)(x_T - a)) = -a (a^2 - (z_X - a)(x_T - a))$

В общем случае, для произвольных точек $X$ и $T$ на ребрах ($0 < x_T < a$, $0 < z_X < a$), это выражение не равно нулю. Например, если $x_T = z_X = a/2$, то $V = -a(a^2 - (-a/2)(-a/2)) = -a(a^2 - a^2/4) = -3a^3/4 \neq 0$.

Так как смешанное произведение не равно нулю, векторы не компланарны, а значит, точки X, Y, Z, T не лежат в одной плоскости. Следовательно, ломаная является пространственной.

Ответ: пространственная.