Номер 16, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

16. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды — это сумма площадей всех её боковых граней.

Напомним, что правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник (например, равносторонний треугольник или квадрат), а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

У правильной пирамиды есть несколько ключевых свойств, важных для нахождения площади боковой поверхности:

• Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.
• Высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны. Эти высоты называются апофемами пирамиды.

Для вывода формулы введём обозначения:

• $S_{бок}$ — искомая площадь боковой поверхности;
• $P_{осн}$ — периметр многоугольника, лежащего в основании;
• $a$ — длина стороны основания;
• $n$ — количество сторон основания (и, соответственно, количество боковых граней);
• $l$ — длина апофемы (высоты боковой грани).

Площадь одной боковой грани (которая является треугольником) вычисляется по формуле: $S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot l$.

Так как все $n$ боковых граней равны, то площадь боковой поверхности пирамиды — это произведение площади одной грани на их количество:

$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot \left(\frac{1}{2} a \cdot l\right) = \frac{1}{2} (n \cdot a) \cdot l$.

Произведение количества сторон на длину стороны ($n \cdot a$) — это периметр основания пирамиды, $P_{осн}$.

$P_{осн} = n \cdot a$.

Подставляем периметр в формулу для площади боковой поверхности и получаем итоговую формулу:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$.

Таким образом, чтобы найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, нужно умножить половину периметра её основания на апофему.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра её основания на апофему. Формула для вычисления: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $l$ — апофема пирамиды.