Номер 13, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Какая пирамида называется правильной пирамидой?

13.

Правильная пирамида — это вид пирамиды, который обладает высокой степенью симметрии благодаря выполнению двух строгих условий:

1. Основанием пирамиды является правильный многоугольник.
   Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны. Например:
   • Правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник.
   • Правильная четырёхугольная пирамида имеет в основании квадрат.
   • Правильная шестиугольная пирамида имеет в основании правильный шестиугольник.
2. Вершина пирамиды проецируется в центр её основания.
   Это означает, что отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром многоугольника в основании, является высотой пирамиды, то есть перпендикулярен плоскости основания. Центр правильного многоугольника — это точка, которая является одновременно центром вписанной и описанной окружностей.

Из этих двух условий вытекает ряд важных свойств правильной пирамиды:

• Боковые рёбра равны. Все отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, имеют одинаковую длину.
• Боковые грани равны. Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.
• Апофемы равны. Апофема пирамиды — это высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. В правильной пирамиде все апофемы равны.
• Двугранные углы при основании равны. Все углы, образованные боковыми гранями и плоскостью основания, равны между собой.

Эти свойства значительно упрощают расчёты, связанные с пирамидой. Например, площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно вычислить по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$

где $P$ — периметр основания, а $l$ — длина апофемы.

Объём любой пирамиды, в том числе и правильной, находится по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Ответ: Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник, а её высота совпадает с отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром её основания.