Номер 70, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

70. На рисунке 118 изображена треугольная пирамида $MNOP$. Постройте сечение треугольной пирамиды $MNOP$ плоскостью $ABC$, учитывая, что точки $A, B, C$ выбраны соответственно на рёбрах $MN, OP, PN$.

Рис. 118

Для построения сечения треугольной пирамиды $MNOP$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$, необходимо последовательно найти линии пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды. Построение выполняется в несколько шагов.

1. Построение сторон сечения на гранях MNP и NOP

Точки $A$ и $C$ по условию принадлежат ребрам $MN$ и $PN$ соответственно. Оба ребра лежат в плоскости грани $MNP$. Следовательно, отрезок $AC$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $MNP$ и одной из сторон искомого сечения.

Аналогично, точки $B$ и $C$ лежат на ребрах $OP$ и $PN$, которые принадлежат плоскости грани $NOP$ (основанию пирамиды). Следовательно, отрезок $BC$ также является стороной сечения и лежит на грани $NOP$.

2. Нахождение четвертой вершины сечения методом следов

Чтобы найти остальные стороны сечения, нужно определить точки его пересечения с ребрами $MO$ и $MP$. Воспользуемся методом следов, чтобы найти линию пересечения (след) секущей плоскости $ABC$ с гранью $MNO$.

а) Рассмотрим плоскость основания $NOP$. В ней лежат прямая $BC$ (принадлежащая секущей плоскости) и прямая $NO$ (принадлежащая грани $MNO$). Так как эти прямые лежат в одной плоскости, найдем их точку пересечения, продлив отрезок $BC$ до пересечения с прямой $NO$. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, $K = BC \cap NO$.

б) Точка $K$ принадлежит прямой $BC$, а значит, лежит в секущей плоскости $ABC$. В то же время точка $K$ принадлежит прямой $NO$, а значит, лежит в плоскости грани $MNO$.

в) Точка $A$ по условию лежит на ребре $MN$ и, следовательно, также принадлежит плоскости грани $MNO$ и секущей плоскости $ABC$.

г) Поскольку две точки, $A$ и $K$, одновременно принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани $MNO$, то прямая, проходящая через них, является их линией пересечения (следом). Проведем прямую $AK$.

д) Прямая $AK$ лежит в плоскости $MNO$ и пересекает ребро $MO$, также лежащее в этой плоскости. Обозначим точку их пересечения $D$. Точка $D = AK \cap MO$ является четвертой вершиной искомого сечения.

3. Завершение построения сечения

Теперь известны все четыре вершины сечения: $A$ (на $MN$), $C$ (на $PN$), $B$ (на $OP$) и $D$ (на $MO$). Соединим их последовательно отрезками, чтобы получить замкнутый многоугольник:

• $AC$ – сторона сечения в грани $MNP$.
• $CB$ – сторона сечения в грани $NOP$.
• $BD$ – сторона сечения в грани $MOP$ (точки $B$ и $D$ лежат на ребрах $OP$ и $MO$ этой грани).
• $DA$ – сторона сечения в грани $MNO$ (точки $D$ и $A$ лежат на ребрах $MO$ и $MN$ этой грани).

Полученный четырехугольник $ACBD$ и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $ACBD$. Построение заключается в последовательном нахождении его вершин и сторон: сначала строятся отрезки $AC$ и $BC$, затем с помощью вспомогательной точки $K = BC \cap NO$ строится прямая $AK$, на пересечении которой с ребром $MO$ находится четвертая вершина $D$. После этого строятся замыкающие стороны $BD$ и $DA$.