Номер 98, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

98*. Ребро основания правильной четырёхугольной призмы равно $a$, а площадь сечения призмы плоскостью, которая проходит через концы рёбер, выходящих из одной вершины, равна $Q$. Найдите боковую поверхность призмы.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. Высота призмы (длина бокового ребра) пусть будет равна $h$, то есть $AA_1 = h$.

Плоскость сечения проходит через концы рёбер, выходящих из одной вершины. Возьмём, к примеру, вершину $A$. Из неё выходят три ребра: $AB$, $AD$ (рёбра основания) и $AA_1$ (боковое ребро). Концами этих рёбер, отличными от вершины $A$, являются точки $B$, $D$ и $A_1$. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $A_1BD$. По условию задачи, площадь этого треугольника равна $Q$, то есть $S_{\triangle A_1BD} = Q$.

Найдём стороны треугольника $A_1BD$.
1. Сторона $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора находим:
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
2. Стороны $A_1B$ и $A_1D$ являются диагоналями боковых граней $AA_1B_1B$ и $AA_1D_1D$ соответственно. Так как призма правильная, эти грани — равные прямоугольники со сторонами $a$ и $h$.
Из прямоугольного треугольника $AA_1B$: $A_1B = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{h^2 + a^2}$.
Аналогично, из $\triangle AA_1D$: $A_1D = \sqrt{h^2 + a^2}$.
Поскольку $A_1B = A_1D$, треугольник $A_1BD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

Для нахождения площади треугольника $A_1BD$ проведём в нём высоту $A_1O$ к основанию $BD$. Точка $O$ — середина отрезка $BD$ и центр квадрата $ABCD$.
Рассмотрим треугольник $AA_1O$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и отрезку $AO$. Следовательно, треугольник $AA_1O$ — прямоугольный.
Катет $AA_1 = h$. Катет $AO$ равен половине диагонали квадрата: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
По теореме Пифагора найдём гипотенузу $A_1O$, которая является высотой треугольника $A_1BD$:
$A_1O = \sqrt{AA_1^2 + AO^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $A_1BD$ и приравняем её к $Q$:
$S_{\triangle A_1BD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot A_1O = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}} = Q$.

Выразим высоту призмы $h$ из полученного уравнения.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$Q^2 = \left(\frac{1}{2} a\sqrt{2}\right)^2 \left(h^2 + \frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^2 \cdot 2}{4} \left(h^2 + \frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^2}{2} \left(h^2 + \frac{a^2}{2}\right)$.
$\frac{2Q^2}{a^2} = h^2 + \frac{a^2}{2}$
$h^2 = \frac{2Q^2}{a^2} - \frac{a^2}{2} = \frac{4Q^2 - a^4}{2a^2}$.
Отсюда $h = \sqrt{\frac{4Q^2 - a^4}{2a^2}} = \frac{\sqrt{4Q^2 - a^4}}{a\sqrt{2}}$.

Площадь боковой поверхности правильной призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра основания на высоту.
Периметр основания $P_{осн} = 4a$.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot h$.
Подставим найденное выражение для $h$:
$S_{бок} = 4a \cdot \frac{\sqrt{4Q^2 - a^4}}{a\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \sqrt{4Q^2 - a^4}$.
Упростим коэффициент: $\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна:
$S_{бок} = 2\sqrt{2}\sqrt{4Q^2 - a^4}$. Это выражение можно также записать в виде $S_{бок} = \sqrt{8(4Q^2 - a^4)} = \sqrt{32Q^2 - 8a^4}$.

Ответ: $2\sqrt{2}\sqrt{4Q^2 - a^4}$