Номер 103, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

103. Имеются параллелограмм $MNOP$ и трапеция $MNEK$ с основанием $EK$, причём эти четырёхугольники не лежат в одной плоскости.

а) Установите взаимное расположение прямых $OP$ и $EK$.

б) Найдите периметр трапеции, учитывая, что в неё можно вписать окружность, а её основания $MN$ и $EK$ равны 45 см и 55 см соответственно.

а)

По условию, MNOP — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая MN параллельна прямой OP. Запишем это в виде: $MN \parallel OP$.

Также по условию, MNEK — трапеция с основаниями MN и EK. По определению трапеции, её основания параллельны друг другу. Следовательно, прямая MN параллельна прямой EK: $MN \parallel EK$.

Мы имеем две прямые, OP и EK, каждая из которых параллельна третьей прямой MN. В стереометрии существует теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Из этого следует, что $OP \parallel EK$.

В условии сказано, что четырёхугольники не лежат в одной плоскости. Это означает, что прямая OP, лежащая в плоскости параллелограмма, и прямая EK, лежащая в плоскости трапеции, не могут совпадать.

Ответ: прямые OP и EK параллельны.

б)

Периметр P трапеции MNEK равен сумме длин всех её сторон: $P = MN + NE + EK + KM$.

По условию, в трапецию MNEK можно вписать окружность. Четырёхугольник, в который можно вписать окружность, называется описанным. Для описанных четырёхугольников справедлива теорема Пито, согласно которой суммы длин противоположных сторон равны.

Для трапеции MNEK с основаниями MN и EK и боковыми сторонами NE и KM это свойство записывается в виде равенства: $MN + EK = NE + KM$.

Из условия нам известны длины оснований: $MN = 45$ см и $EK = 55$ см.

Найдем сумму длин оснований: $MN + EK = 45 + 55 = 100$ см.

Следовательно, сумма длин боковых сторон также равна 100 см: $NE + KM = 100$ см.

Теперь мы можем найти периметр трапеции, сложив сумму длин оснований и сумму длин боковых сторон: $P = (MN + EK) + (NE + KM) = 100 + 100 = 200$ см.

Ответ: 200 см.