Номер 108, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

108. Точка $E$ является точкой отрезка $TR$, который не пересекает плоскость $\gamma$. Параллельные прямые, проведённые через точки $T$, $R$, $E$, пересекают плоскость $\gamma$ в точках $T_1$, $R_1$, $E_1$ соответственно. Докажите, что точки $T_1$, $R_1$, $E_1$ лежат на одной прямой, и найдите отрезок $EE_1$, учитывая, что $TT_1 = 27$ см, $RR_1 = 15$ см, $TE : RE = 1 : 3$.

Решение задачи состоит из двух частей: доказательства и вычисления.

1. Доказательство того, что точки T₁, R₁, E₁ лежат на одной прямой.

По условию, через точки T, R и E проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\gamma$ в точках $T_1$, $R_1$ и $E_1$ соответственно. Обозначим эти прямые как $t (TT_1)$, $r (RR_1)$ и $e (EE_1)$. Таким образом, $t \parallel r \parallel e$.

Рассмотрим две параллельные прямые $t$ и $r$. Согласно свойству параллельных прямых в пространстве, через них проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

Поскольку прямые $t$ и $r$ лежат в плоскости $\beta$, то все их точки, включая T, $T_1$, R, $R_1$, также принадлежат этой плоскости. Отрезок TR, соединяющий точки T и R, целиком лежит в плоскости $\beta$.

По условию, точка E лежит на отрезке TR. Так как TR принадлежит плоскости $\beta$, то и точка E принадлежит плоскости $\beta$.

Прямая $e (EE_1)$ проходит через точку E и параллельна прямой $t (TT_1)$. Так как точка E лежит в плоскости $\beta$, а прямая $t$ также лежит в плоскости $\beta$, то и вся прямая $e$ должна лежать в плоскости $\beta$.

Таким образом, все три параллельные прямые $t$, $r$ и $e$ лежат в одной плоскости $\beta$. Точки $T_1$, $R_1$, $E_1$ являются точками пересечения этих прямых с плоскостью $\gamma$. Следовательно, эти точки должны лежать на прямой, по которой пересекаются плоскости $\beta$ и $\gamma$.

Это доказывает, что точки $T_1$, $R_1$, $E_1$ лежат на одной прямой.

2. Нахождение длины отрезка EE₁.

Фигура, образованная точками T, $T_1$, $R_1$, R, представляет собой трапецию $T T_1 R_1 R$, так как отрезки $TT_1$ и $RR_1$ параллельны (поскольку лежат на параллельных прямых), а $TR$ и $T_1R_1$ являются боковыми сторонами.

Основаниями этой трапеции являются отрезки $TT_1$ и $RR_1$, их длины равны $TT_1 = 27$ см и $RR_1 = 15$ см. Отрезок $EE_1$ параллелен основаниям трапеции и соединяет ее боковые стороны.

Точка E делит боковую сторону TR в отношении $TE : RE = 1 : 3$. Длина отрезка $EE_1$ может быть найдена по формуле для отрезка, соединяющего боковые стороны трапеции и параллельного основаниям: $EE_1 = \frac{RE \cdot TT_1 + TE \cdot RR_1}{RE + TE}$

Из соотношения $TE : RE = 1 : 3$ мы можем принять $TE = k$ и $RE = 3k$ для некоторого коэффициента $k$. Подставим эти выражения и длины оснований в формулу: $EE_1 = \frac{3k \cdot 27 + k \cdot 15}{3k + k}$

Вынесем $k$ за скобки в числителе и знаменателе и сократим: $EE_1 = \frac{k(3 \cdot 27 + 15)}{k(3 + 1)}$

Теперь выполним вычисления: $EE_1 = \frac{81 + 15}{4} = \frac{96}{4} = 24$

Таким образом, длина отрезка $EE_1$ составляет 24 см.

Ответ: точки $T_1$, $R_1$, $E_1$ лежат на одной прямой; длина отрезка $EE_1$ равна 24 см.