Номер 107, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

107. Вершины $M$ и $N$ трапеции $MNLK$ с основаниями $NL$ и $KM$ принадлежат плоскости $\gamma$, а две другие вершины не принадлежат ей.

Найдите расстояние от точки $M$ до точки пересечения прямой $LK$ с плоскостью $\gamma$, учитывая, что $MK = 16$ см, $MN = 9$ см, $NL = 12$ см.

По условию задачи, дана трапеция $MNLK$ с основаниями $NL$ и $KM$. Это означает, что стороны $NL$ и $KM$ параллельны: $NL \parallel KM$. Стороны $MN$ и $LK$ являются боковыми сторонами (ногами) трапеции.

Вершины $M$ и $N$ принадлежат плоскости $\gamma$. Следовательно, вся прямая $MN$, содержащая сторону трапеции $MN$, лежит в плоскости $\gamma$.

Требуется найти расстояние от точки $M$ до точки пересечения прямой $LK$ с плоскостью $\gamma$. Обозначим эту точку пересечения как $P$.

Поскольку точка $P$ лежит на прямой $LK$, а вся трапеция $MNLK$ лежит в одной плоскости (назовем ее $\alpha$), то точка $P$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Также по определению, точка $P$ принадлежит плоскости $\gamma$. Таким образом, точка $P$ принадлежит пересечению плоскостей $\alpha$ и $\gamma$.

Линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ — это прямая $MN$, так как обе точки $M$ и $N$ принадлежат обеим плоскостям. Следовательно, точка $P$ лежит на прямой $MN$.

Итак, точка $P$ является точкой пересечения прямых $MN$ и $LK$, то есть точкой пересечения продолжений боковых сторон трапеции.

Рассмотрим плоскость трапеции $\alpha$. Боковые стороны $MN$ и $LK$ пересекаются в точке $P$. Поскольку $NL \parallel KM$ (основания трапеции), образуются два подобных треугольника: $\triangle PNL$ и $\triangle PMK$.

Треугольники подобны по двум углам:

• $\angle P$ — общий угол.
• $\angle PNL = \angle PMK$ как соответственные углы при параллельных прямых $NL$ и $KM$ и секущей $PM$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{PN}{PM} = \frac{PL}{PK} = \frac{NL}{KM} $$

Нам даны длины оснований и одной из боковых сторон:

• $NL = 12$ см
• $MK = 16$ см
• $MN = 9$ см

Искомое расстояние — это длина отрезка $MP$. Обозначим $MP = x$.

Точка $P$ является точкой пересечения продолжений боковых сторон, поэтому для стандартной (выпуклой) трапеции точка $N$ будет лежать на отрезке $PM$. Таким образом, длина отрезка $PM$ равна сумме длин отрезков $PN$ и $NM$: $$ PM = PN + NM $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ x = PN + 9 $$ Отсюда $PN = x - 9$.

Теперь подставим выражения для $PM$ и $PN$ и длины оснований в пропорцию: $$ \frac{PN}{PM} = \frac{NL}{KM} $$ $$ \frac{x-9}{x} = \frac{12}{16} $$

Упростим дробь в правой части: $$ \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $$

Решим полученное уравнение: $$ \frac{x-9}{x} = \frac{3}{4} $$ Применяя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ 4(x-9) = 3x $$ $$ 4x - 36 = 3x $$ $$ 4x - 3x = 36 $$ $$ x = 36 $$

Следовательно, расстояние от точки $M$ до точки пересечения прямой $LK$ с плоскостью $\gamma$ равно 36 см.

Ответ: 36 см.