Номер 110, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

110. Точки M, N, U, V — соответственно середины рёбер AC, AD, BD, BC треугольной пирамиды ABCD (рис. 159). Найдите периметр четырёх-угольника MNUV, учитывая, что $AB = 20 \text{ см}$, $CD = 30 \text{ см}$.

Рис. 159

Для нахождения периметра четырехугольника MNUV необходимо найти длины его сторон: MN, NU, UV и VM.

1. Найдем длину стороны MN.

Рассмотрим треугольник ACD. Точка M — середина ребра AC, а точка N — середина ребра AD. По определению, отрезок MN является средней линией треугольника ACD. По свойству средней линии, она параллельна основанию CD и равна его половине.

$MN = \frac{1}{2} CD$

Так как по условию $CD = 30$ см, то:

$MN = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.

2. Найдем длину стороны UV.

Рассмотрим треугольник BCD. Точка U — середина ребра BD, а точка V — середина ребра BC. Следовательно, отрезок UV является средней линией треугольника BCD. Его длина равна половине основания CD.

$UV = \frac{1}{2} CD$

$UV = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.

3. Найдем длину стороны NU.

Рассмотрим треугольник ABD. Точка N — середина ребра AD, а точка U — середина ребра BD. Следовательно, отрезок NU является средней линией треугольника ABD. Его длина равна половине основания AB.

$NU = \frac{1}{2} AB$

Так как по условию $AB = 20$ см, то:

$NU = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

4. Найдем длину стороны VM.

Рассмотрим треугольник ABC. Точка V — середина ребра BC, а точка M — середина ребра AC. Следовательно, отрезок VM является средней линией треугольника ABC. Его длина равна половине основания AB.

$VM = \frac{1}{2} AB$

$VM = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

5. Найдем периметр четырехугольника MNUV.

Периметр четырехугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P_{MNUV} = MN + NU + UV + VM$

Подставим найденные значения длин сторон:

$P_{MNUV} = 15 + 10 + 15 + 10 = 50$ см.

Ответ: 50 см.