Номер 116, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

116. Прямая $m$ пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$. Определите взаимное расположение прямых $m$ и $BC$, учитывая, что:

а) прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$ и не пересекает отрезок $AC$;

б) прямая $m$ не лежит в плоскости $ABC$.

а) По условию, прямая $m$ и треугольник $ABC$ лежат в одной плоскости ($m \subset (ABC)$). В одной плоскости две различные прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и прямую $m$. Прямая $m$ пересекает сторону $AB$. Согласно аксиоме Паша, если прямая (лежащая в плоскости треугольника) пересекает одну сторону треугольника, то она должна пересечь и ещё одну из двух других сторон (если она не проходит через вершину).

В данном случае прямая $m$ пересекает сторону $AB$. По условию, она не пересекает отрезок $AC$. Следовательно, для выполнения аксиомы Паша, прямая $m$ должна пересекать третью сторону — $BC$.

Таким образом, прямые $m$ и $BC$ лежат в одной плоскости и имеют общую точку, то есть они пересекаются.

Ответ: прямые $m$ и $BC$ пересекаются.

б) По условию, прямая $m$ не лежит в плоскости треугольника $ABC$ ($m \not\subset (ABC)$). Прямая $BC$ полностью лежит в этой плоскости ($BC \subset (ABC)$). Две прямые в пространстве могут быть пересекающимися, параллельными или скрещивающимися.

1. Пересечение. Пусть $P$ — точка пересечения прямой $m$ и стороны $AB$. Так как $P \in AB$, то точка $P$ лежит в плоскости $ABC$. Поскольку прямая $m$ не лежит в плоскости $ABC$, точка $P$ является единственной общей точкой прямой $m$ и плоскости $ABC$. Прямая $BC$ также полностью лежит в плоскости $ABC$. Если бы прямые $m$ и $BC$ пересекались, их точка пересечения должна была бы лежать на обеих прямых. Единственная точка прямой $m$, которая находится в плоскости $ABC$ (и, следовательно, могла бы принадлежать прямой $BC$), — это точка $P$. Это возможно только в том случае, если точка $P$ лежит на прямой $BC$. Но $P$ лежит на стороне $AB$. Единственная общая точка стороны $AB$ и прямой $BC$ — это вершина $B$. Если считать, что прямая $m$ пересекает сторону $AB$ во внутренней точке (что является общим случаем), то $P \neq B$, и, следовательно, $P$ не лежит на прямой $BC$. В этом случае прямые не пересекаются.

2. Параллельность. Если бы прямые $m$ и $BC$ были параллельны, то они лежали бы в одной плоскости. Эта плоскость содержала бы прямую $BC$ и прямую $m$. Так как $BC$ и точка $P$ (из прямой $m$) лежат в плоскости $ABC$, то эта плоскость совпадала бы с плоскостью $ABC$. Это означало бы, что прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, что противоречит условию. Следовательно, прямые не параллельны.

Поскольку в общем случае прямые $m$ и $BC$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: прямые $m$ и $BC$ скрещивающиеся.