Номер 120, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

120. Прямая $m$ пересекает прямую $k$ и не пересекает прямую $l$, параллельную прямой $k$. Докажите, что $l$ и $m$ — скрещивающиеся прямые.

По определению, две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Чтобы доказать, что прямые $l$ и $m$ являются скрещивающимися, необходимо показать, что для них выполняются оба этих условия.

1. Докажем, что прямые $l$ и $m$ не пересекаются.
Это условие прямо следует из формулировки задачи: "прямая $m$ ... не пересекает прямую $l$". Это означает, что у прямых $l$ и $m$ нет общих точек, то есть $l \cap m = \emptyset$.

2. Докажем, что прямые $l$ и $m$ не параллельны.
Для доказательства этого пункта воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямые $l$ и $m$ параллельны: $l \parallel m$.
По условию задачи нам также известно, что прямая $l$ параллельна прямой $k$: $l \parallel k$.
Из нашего предположения ($l \parallel m$) и условия ($l \parallel k$) на основании теоремы о двух прямых, параллельных третьей (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), следует, что прямая $m$ должна быть параллельна прямой $k$, то есть $m \parallel k$.
Однако этот вывод противоречит условию задачи, в котором сказано, что "прямая $m$ пересекает прямую $k$". Пересекающиеся прямые по определению не могут быть параллельными.
Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямые $l$ и $m$ параллельны, является неверным. Таким образом, прямые $l$ и $m$ не параллельны.

Вывод:
Мы установили, что прямые $l$ и $m$ не пересекаются и не являются параллельными. Следовательно, по определению, они являются скрещивающимися прямыми.

Ответ: Утверждение доказано, прямые $l$ и $m$ — скрещивающиеся.