Номер 123, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

123. Прямая $m$ параллельна диагонали $FH$ ромба $EFGH$ и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что скрещиваются прямые:

a) $m$ и $EG$, и найдите угол между ними;

б) $m$ и $EH$, и найдите угол между ними, учитывая, что $\angle EFG = 128^\circ$.

а) m и EG

Доказательство, что прямые скрещиваются:
Обозначим плоскость ромба EFGH как α. По условию, прямая m не лежит в плоскости α.
Также по условию прямая m параллельна диагонали FH (m || FH). Так как прямая FH лежит в плоскости α (FH ⊂ α), а прямая m не лежит в α, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая m параллельна плоскости α (m || α).
Прямая EG полностью лежит в плоскости α (EG ⊂ α).
1. Могут ли прямые m и EG пересекаться? Нет, так как если бы они имели общую точку, то эта точка принадлежала бы и прямой m, и плоскости α. Но это противоречит тому, что m || α.
2. Могут ли прямые m и EG быть параллельны? Предположим, что m || EG. Поскольку по условию m || FH, то из этого следовало бы, что EG || FH (по свойству транзитивности параллельных прямых). Однако EG и FH являются диагоналями ромба, они пересекаются и не могут быть параллельными. Следовательно, наше предположение неверно.
Поскольку прямые m и EG не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.
Нахождение угла между прямыми:
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным.
Так как m || FH, то угол между прямыми m и EG равен углу между прямыми FH и EG.
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между FH и EG составляет 90°.
Ответ: 90°.

б) m и EH

Доказательство, что прямые скрещиваются:
Прямая EH является стороной ромба и лежит в плоскости α. Прямая m, как было показано ранее, параллельна плоскости α.
1. Могут ли прямые m и EH пересекаться? Нет, так как прямая m не имеет общих точек с плоскостью α, в которой лежит прямая EH.
2. Могут ли прямые m и EH быть параллельны? Предположим, что m || EH. Так как m || FH, то из этого следовало бы, что EH || FH. Однако прямые EH и FH имеют общую точку H, то есть пересекаются. Значит, они не могут быть параллельными.
Поскольку прямые m и EH не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.
Нахождение угла между прямыми:
Угол между прямыми m и EH равен углу между прямыми FH и EH, так как m || FH. Этот угол есть не что иное, как угол FHE в ромбе EFGH.
Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°. По условию $ \angle EFG = 128^\circ $. Тогда угол, соседний с ним, равен:
$ \angle FGH = 180^\circ - \angle EFG = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ $.
Поскольку в ромбе противоположные углы равны, то $ \angle EHG = \angle EFG = 128^\circ $ и $ \angle HEF = \angle FGH = 52^\circ $.
Диагональ ромба является биссектрисой его углов. Диагональ FH делит пополам углы $ \angle EFG $ и $ \angle EHG $. Нас интересует угол $ \angle FHE $, который является частью угла $ \angle HEF $. (Коррекция: диагональ FH соединяет вершины F и H, значит, она делит пополам углы EFG и EHG. Угол между прямыми FH и EH - это угол FHE. Но это неверно, FHE - это треугольник, а угол между прямыми - это угол при вершине H, то есть ∠EHF).
Диагональ FH является биссектрисой угла $ \angle EHG $.
$ \angle EHG = 180^\circ - \angle EFG = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ $.
Следовательно, искомый угол $ \angle EHF $ равен:
$ \angle EHF = \frac{\angle EHG}{2} = \frac{52^\circ}{2} = 26^\circ $.
Угол между прямыми m и EH равен 26°.
Ответ: 26°.