Номер 2, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Сформулируйте свойство прямой, параллельной плоскости.

Свойство прямой, параллельной плоскости, заключается в следующем (иногда это называют леммой или теоремой о параллельных прямой и плоскости):

Теорема: Если через прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$, проходит плоскость $\beta$, которая пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $b$, то прямая $b$ параллельна прямой $a$.

Для полного понимания рассмотрим данное свойство с доказательством.

Дано:
1. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
2. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$ ($a \subset \beta$).
3. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $b$ ($\beta \cap \alpha = b$).

Свойство, которое нужно доказать:
Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Доказательство:
1. Прямые $a$ и $b$ обе лежат в плоскости $\beta$. Прямая $a$ лежит в $\beta$ по условию. Прямая $b$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, следовательно, она принадлежит обеим плоскостям, в том числе и плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).
2. Так как обе прямые лежат в одной плоскости, они могут быть либо параллельными, либо пересекающимися.
3. Допустим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, а пересекаются в некоторой точке $M$.
4. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $b$, а прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ (так как $b$ - линия их пересечения), то точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
5. Таким образом, мы получаем, что точка $M$ принадлежит и прямой $a$ (по нашему предположению), и плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют общую точку, то есть пересекаются.
6. Это утверждение противоречит исходному условию, согласно которому прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). По определению, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.
7. Следовательно, наше предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, является неверным.
8. Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости ($\beta$) и не пересекаются, они должны быть параллельны ($a \parallel b$).
Свойство доказано.

Ответ: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.