Номер 125, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

125. Стороны $AB$ и $CD$ пространственного четырёхугольника $ABCD$ равны. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середину отрезков $BC$ и $AD$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом вспомогательных построений, введя дополнительную точку, и применим свойство средней линии треугольника.

Пусть $ABCD$ — данный пространственный четырехугольник, в котором по условию равны длины сторон $AB$ и $CD$, то есть $AB = CD$. Обозначим через $M$ середину отрезка $BC$ и через $N$ — середину отрезка $AD$. Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, — это прямая $MN$. Требуется доказать, что прямая $MN$ образует равные углы с прямыми $AB$ и $CD$.

Введем в качестве вспомогательной точки $K$ — середину диагонали $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем отрезок $MK$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Таким образом, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине, то есть $MK \parallel AB$ и $MK = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. В нем отрезок $NK$ соединяет середины сторон $AD$ и $AC$. Таким образом, $NK$ является средней линией треугольника $ADC$. Для нее также справедливо свойство средней линии: $NK \parallel CD$ и $NK = \frac{1}{2}CD$.

Из условия задачи известно, что $AB = CD$. Сравнивая длины отрезков $MK$ и $NK$, которые мы выразили через $AB$ и $CD$, получаем: $MK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = NK$.

Теперь обратимся к треугольнику $MNK$. Поскольку мы установили, что длины двух его сторон равны ($MK = NK$), данный треугольник является равнобедренным с основанием $MN$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle KMN = \angle KNM$.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми (в данном случае $AB$ и $MN$) по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно им параллельны. Поскольку $MK \parallel AB$, угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между прямыми $MK$ и $MN$. Этот угол является углом $\angle KMN$ в треугольнике $MNK$.

Аналогично, угол между скрещивающимися прямыми $CD$ и $MN$ равен углу между прямой $MN$ и прямой $NK$, которая параллельна $CD$. Этот угол является углом $\angle KNM$ в треугольнике $MNK$.

Так как ранее было доказано, что $\angle KMN = \angle KNM$, то и углы, которые прямая $MN$ образует с прямыми $AB$ и $CD$, равны между собой. Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Утверждение о том, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков $BC$ и $AD$, доказано.