Номер 5, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Точки $P$ и $Q$ лежат в плоскости $\alpha$, а точка $R$ не принадлежит ей. Определите взаимное расположение прямой, проходящей через середины отрезков $PR$ и $QR$ (рис. 170), и плоскости $\alpha$.

Рис. 170

Обозначим середину отрезка $PR$ как точку $M$, а середину отрезка $QR$ как точку $N$. Таким образом, искомая прямая — это прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, то есть прямая $MN$. На рисунке эта прямая обозначена буквой $a$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $P$, $Q$ и $R$. Поскольку точка $R$ не лежит в плоскости $\alpha$, а точки $P$ и $Q$ лежат в ней, эти три точки не могут лежать на одной прямой, а значит, образуют треугольник $\triangle PQR$.

В треугольнике $\triangle PQR$ отрезок $MN$ соединяет середины двух его сторон ($PR$ и $QR$). Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. В данном случае, прямая $MN$ параллельна прямой $PQ$. Математически это записывается как $MN \parallel PQ$.

Теперь рассмотрим положение прямой $PQ$ относительно плоскости $\alpha$. По условию, точки $P$ и $Q$ принадлежат плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$ и $Q \in \alpha$). По аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, прямая $PQ$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($PQ \subset \alpha$).

Для определения взаимного расположения прямой $MN$ и плоскости $\alpha$ воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Проверим выполнение условий этого признака для нашей задачи:
1. Прямая $MN$ параллельна прямой $PQ$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($MN \parallel PQ$ и $PQ \subset \alpha$). Это условие выполняется, как мы показали выше.
2. Прямая $MN$ не лежит в плоскости $\alpha$. Чтобы это доказать, достаточно показать, что хотя бы одна её точка не лежит в $\alpha$. Рассмотрим точку $M$. Так как точка $R$ не принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $P$ принадлежит ей, то отрезок $PR$ пересекает плоскость $\alpha$ только в точке $P$. Его середина, точка $M$, не совпадает с точкой $P$ (иначе $R$ совпало бы с $P$, что противоречит условию $R \notin \alpha$), следовательно, точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$). Так как точка $M$, принадлежащая прямой $MN$, не лежит в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $MN$ не лежит в этой плоскости ($MN \not\subset \alpha$). Это условие также выполняется.

Поскольку оба условия признака параллельности прямой и плоскости выполняются, мы делаем вывод, что прямая $MN$ (прямая $a$ на рисунке) параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Прямая, проходящая через середины отрезков $PR$ и $QR$, параллельна плоскости $\alpha$.