Номер 131, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

131. На ребре $DD_1$ куба $DFGED_1F_1G_1E_1$ выбрана точка $Q$ (рис. 178). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения с поверхностью куба прямой $c$, проходящей через точку $Q$ и параллельной прямой $D_1G$.

Рис. 178

Для решения задачи необходимо выполнить геометрическое построение точки пересечения прямой c с поверхностью куба. Назовем искомую точку P. Прямая c проходит через точку Q на ребре DD₁ и параллельна диагонали куба D₁G.

Построение основано на методе параллельного проецирования и свойствах подобных треугольников.

Построение

1. Анализ и выбор плоскости для построения.

   По условию, прямая $c$ проходит через точку $Q$ и параллельна прямой $D_1G$ ($c \parallel D_1G$). Две параллельные прямые определяют плоскость. Рассмотрим плоскость, в которой лежит прямая $c$. Эта плоскость также содержит точку $Q$ и прямую, проходящую через $Q$ параллельно $D_1G$. Для удобства построения воспользуемся методом вспомогательных сечений или проекций. Наиболее простым является метод, основанный на том, что отношение отрезков сохраняется при параллельном проецировании.

   Рассмотрим векторное равенство, вытекающее из параллельности. Пусть искомая точка $P$ — это вторая точка пересечения прямой $c$ с поверхностью куба. Тогда отрезок $QP$ лежит на прямой $c$, и, следовательно, $QP \parallel D_1G$. Рассмотрим векторы $\vec{QP}$ и $\vec{D_1G}$. Они коллинеарны. Пусть точка $D$ — начало координат. Тогда положение любой точки $X$ можно описать вектором $\vec{DX}$. Точка $Q$ лежит на ребре $DD_1$, поэтому $\vec{DQ} = k \cdot \vec{DD_1}$ для некоторого $k \in (0, 1)$. Искомая точка $P$ будет лежать на диагонали нижнего основания $DG$. Докажем это. $\vec{D_1G} = \vec{DG} - \vec{DD_1}$. $\vec{QP} = \vec{DP} - \vec{DQ} = \vec{DP} - k \cdot \vec{DD_1}$. Так как $\vec{QP} \parallel \vec{D_1G}$, то $\vec{QP} = \lambda \cdot \vec{D_1G}$ для некоторого скаляра $\lambda$. $\vec{DP} - k \cdot \vec{DD_1} = \lambda (\vec{DG} - \vec{DD_1})$. $\vec{DP} = \lambda \cdot \vec{DG} + (k - \lambda) \cdot \vec{DD_1}$. Поскольку точка $P$ лежит на поверхности куба и выходит из точки $Q$ (на задней грани) в направлении "вперед и вниз" (как и вектор $\vec{D_1G}$), она окажется на нижней грани. Для любой точки на нижней грани вектор $\vec{DP}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ (или $\vec{DE}$ и $\vec{DG}$, в зависимости от выбора базиса). Коэффициент при векторе $\vec{DD_1}$ (отвечающем за высоту) должен быть равен нулю. Следовательно, $k - \lambda = 0$, откуда $\lambda = k$. Тогда $\vec{DP} = k \cdot \vec{DG}$. Это означает, что точка $P$ лежит на диагонали $DG$ нижнего основания, и при этом делит ее в том же отношении, в котором точка $Q$ делит ребро $DD_1$. То есть, выполняется соотношение: $$ \frac{DQ}{DD_1} = \frac{DP}{DG} $$ Это дает нам простой способ для построения.

2. Пошаговое построение точки P.

   Построение можно выполнить несколькими способами. Приведем наиболее наглядный, использующий вспомогательную проекцию.

   1. Рассмотрим левую грань куба $DEE_1D_1$. На этой грани лежат точки $D, D_1, E, E_1$ и точка $Q$. Проведем в этой грани диагональ $D_1E$.

   2. Через точку $Q$ проведем прямую, параллельную $D_1E$. Эта прямая пересечет ребро $DE$ в некоторой точке. Назовем эту точку $P'$.

   

   (Пояснение: Прямая $c$ параллельна $D_1G$. При проецировании на плоскость левой грани $DEE_1D_1$ вектор $\vec{D_1G}$ проецируется в вектор $\vec{D_1E}$, а точка $Q$ — в саму себя. Следовательно, проекция прямой $c$ на эту плоскость проходит через $Q$ и параллельна $D_1E$. Точка $P'$ является проекцией искомой точки $P$ на ребро $DE$.)

   3. Рассмотрим нижнюю грань куба $DFGE$. На этой грани лежат точки $D, E, G, F$ и построенная нами точка $P'$. Проведем диагональ $DG$.

   4. Из точки $P'$ на ребре $DE$ проведем прямую, параллельную ребру $EG$.

   5. Точка пересечения этой прямой с диагональю $DG$ и есть искомая точка $P$.

   

   (Пояснение: Точка $P$ лежит на диагонали $DG$, как было доказано ранее. Построение в шагах 1-2 находит проекцию точки $P$ на ребро $DE$. Треугольники $\triangle D P' P$ и $\triangle D E G$ подобны, так как $P'P \parallel EG$. Из подобия следует, что $\frac{DP}{DG} = \frac{DP'}{DE}$. В свою очередь, из подобия треугольников $\triangle D Q P'$ и $\triangle D D_1 E$ (шаг 2) следует, что $\frac{DP'}{DE} = \frac{DQ}{DD_1}$. Таким образом, мы получаем требуемое соотношение $\frac{DP}{DG} = \frac{DQ}{DD_1}$.)

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $c$ с поверхностью куба и лежит на диагонали $DG$ нижнего основания. Она строится в соответствии с шагами, описанными выше. Точка $P$ делит диагональ $DG$ в том же отношении, в каком точка $Q$ делит ребро $DD_1$, считая от вершины $D$.