Номер 128, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

128. Учитывая, что плоскость $\alpha$ проходит через основание $ST$ трапеции $SURT$ и не проходит через вершину $R$, а точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ (рис. 176):

Рис. 176

а) докажите, что средняя линия $MN$ трапеции параллельна плоскости $\alpha$;

б) установите, параллельна ли плоскости $\alpha$ средняя линия $BC$ треугольника $UAR$.

а)

По условию, $SURT$ — трапеция с основанием $ST$. Второе основание — $UR$. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $UR \parallel ST$.
$MN$ — средняя линия трапеции $SURT$. По свойству средней линии трапеции, она параллельна её основаниям. Следовательно, $MN \parallel ST$.
Плоскость $\alpha$ проходит через основание $ST$, это значит, что прямая $ST$ лежит в плоскости $\alpha$ ($ST \subset \alpha$).
По условию, плоскость $\alpha$ не проходит через вершину $R$. Так как точка $N$ является серединой отрезка $RT$, то точка $N$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, и вся прямая $MN$ не лежит в плоскости $\alpha$.
Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
В нашем случае прямая $MN$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $ST$, которая лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, $MN \parallel \alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что средняя линия $MN$ трапеции параллельна плоскости $\alpha$.

б)

$BC$ — средняя линия треугольника $UAR$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, $BC \parallel UR$.
Как мы установили в пункте а), основания трапеции параллельны, то есть $UR \parallel ST$.
Используя свойство транзитивности параллельных прямых, из $BC \parallel UR$ и $UR \parallel ST$ следует, что $BC \parallel ST$.
Прямая $ST$ лежит в плоскости $\alpha$ ($ST \subset \alpha$).
Точки $U$ и $R$ не лежат в плоскости $\alpha$, а точка $A$ лежит в ней. Поскольку $B$ — середина отрезка $UA$, а $C$ — середина отрезка $RA$, точки $B$ и $C$ также не лежат в плоскости $\alpha$. Значит, прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$.
Применяя признак параллельности прямой и плоскости, мы можем заключить: так как прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $ST$, лежащей в плоскости $\alpha$, то $BC \parallel \alpha$.

Ответ: да, средняя линия $BC$ треугольника $UAR$ параллельна плоскости $\alpha$.