Номер 6, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Вне плоскости прямоугольника $UVXY$ выбрана точка $R$ (рис. 171).

Определите взаимное расположение прямой $UV$ и плоскости $XYR$.

Рис. 171

6.

По условию задачи, фигура UVXY является прямоугольником. Одно из ключевых свойств прямоугольника (как и любого параллелограмма) заключается в том, что его противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая UV параллельна прямой XY. Запишем это соотношение с помощью математических символов: $UV \parallel XY$.

Рассмотрим плоскость XYR. Эта плоскость однозначно задается тремя точками X, Y и R, не лежащими на одной прямой. Так как точки X и Y принадлежат этой плоскости, то и вся прямая XY целиком лежит в плоскости XYR.

Теперь для определения взаимного расположения прямой UV и плоскости XYR воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости, который гласит: «Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости».

Проверим выполнение условий этого признака для нашей задачи:

1. Прямая UV параллельна прямой XY ($UV \parallel XY$), как было установлено ранее.
2. Прямая XY лежит в плоскости XYR.
3. Прямая UV не лежит в плоскости XYR. Это следует из того, что точка R по условию находится вне плоскости прямоугольника UVXY, в которой лежит прямая UV. Если бы прямая UV лежала в плоскости XYR, то вся плоскость прямоугольника UVXY совпала бы с плоскостью XYR, что противоречит условию задачи (так как $R$ не лежит в плоскости прямоугольника).

Поскольку все условия признака параллельности прямой и плоскости выполнены, мы можем сделать вывод, что прямая UV параллельна плоскости XYR.

Ответ: прямая UV параллельна плоскости XYR.