Номер 129, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

129. Точка $D$ не лежит в плоскости параллелограмма $ABMN$. Определите взаимное расположение прямой $AB$ и плоскости $MDN$.

По условию задачи, четырехугольник ABMN является параллелограммом. Из определения параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны, то есть прямая AB параллельна прямой MN. Математически это записывается как $AB \parallel MN$.

Рассмотрим плоскость MDN. Эта плоскость определяется тремя точками: M, D и N. Так как точки M и N принадлежат этой плоскости, то и вся прямая MN, проходящая через них, лежит в этой плоскости. Запишем это так: $MN \subset (MDN)$.

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости, который гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Применим этот признак к нашей ситуации:

1. Прямая AB параллельна прямой MN ($AB \parallel MN$).
2. Прямая MN лежит в плоскости MDN ($MN \subset (MDN)$).
3. Прямая AB не лежит в плоскости MDN. Это следует из того, что точка D не лежит в плоскости параллелограмма ABMN. Если предположить, что прямая AB лежит в плоскости MDN, то, поскольку $AB \parallel MN$, вся плоскость параллелограмма ABMN совпала бы с плоскостью MDN. Но это означало бы, что точка D лежит в плоскости ABMN, что противоречит условию задачи.

Так как все условия признака параллельности выполнены, мы можем сделать вывод, что прямая AB параллельна плоскости MDN.

Ответ: Прямая AB параллельна плоскости MDN.