Номер 135, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

135. Точка $A$ — середина ребра $PY$ треугольной пирамиды $PXYZ$, все рёбра которой равны $4\sqrt{3}$. Постройте точку пересечения с поверхностью пирамиды прямой $b$, которая проходит через точку $A$ и параллельна медиане $YR$ грани $XYZ$. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри пирамиды.

Поскольку все рёбра треугольной пирамиды $PXYZ$ равны $4\sqrt{3}$, данная пирамида является правильным тетраэдром. Все её грани, включая основание $XYZ$, являются равносторонними треугольниками со стороной $a = 4\sqrt{3}$.

Построение.

1. Обозначим точку $R$ как середину ребра $XZ$. Тогда $YR$ — медиана грани $XYZ$.

2. Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины $P$, $Y$ и точку $R$. Эта плоскость образует сечение тетраэдра — треугольник $PYR$.

3. Точка $A$ по условию является серединой ребра $PY$. Следовательно, точка $A$ лежит на стороне $PY$ треугольника $PYR$ и, соответственно, в плоскости этого треугольника.

4. Прямая $b$ по условию проходит через точку $A$ и параллельна медиане $YR$. Поскольку точка $A$ и прямая $YR$ лежат в плоскости $PYR$, то и вся прямая $b$ также лежит в этой плоскости.

5. Таким образом, задача о пересечении прямой $b$ с поверхностью пирамиды сводится к задаче о пересечении прямой $b$ со сторонами треугольника $PYR$.

6. Одна точка пересечения уже известна — это точка $A$ на стороне $PY$. Поскольку прямая $b$ параллельна стороне $YR$ треугольника $PYR$, она должна пересечь третью сторону этого треугольника, то есть сторону $PR$. Обозначим эту вторую точку пересечения как $B$.

7. Таким образом, прямая $b$ пересекает поверхность пирамиды в двух точках: в точке $A$ на ребре $PY$ и в точке $B$ на ребре $PR$. Отрезок $AB$ — это часть прямой, расположенная внутри пирамиды.

8. В треугольнике $PYR$ прямая $AB$ проходит через середину стороны $PY$ (точку $A$) параллельно стороне $YR$. По теореме Фалеса, эта прямая пересекает сторону $PR$ в её середине. Следовательно, точка $B$ является серединой ребра $PR$.

Ответ: Прямая $b$ пересекает поверхность пирамиды в точке $A$ (середина ребра $PY$) и в точке $B$, являющейся серединой ребра $PR$.

Нахождение длины отрезка.

1. Отрезок прямой $b$, расположенный внутри пирамиды, — это отрезок $AB$.

2. Как было установлено при построении, в треугольнике $PYR$ точки $A$ и $B$ являются серединами сторон $PY$ и $PR$ соответственно. Следовательно, отрезок $AB$ является средней линией треугольника $PYR$, параллельной основанию $YR$.

3. Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом, $AB = \frac{1}{2} YR$.

4. Найдём длину медианы $YR$ равностороннего треугольника $XYZ$ со стороной $a = 4\sqrt{3}$. Длина медианы в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

5. Подставим значение стороны $a$:
$YR = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

6. Теперь можем найти искомую длину отрезка $AB$:
$AB = \frac{1}{2} YR = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

Ответ: 3.