Номер 140, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

140. Есть прямая $a$, параллельная плоскости $\alpha$, и точка $T$, принадлежащая этой плоскости. Докажите, что прямая, которая проходит через точку $T$ и параллельна прямой $a$, лежит в плоскости $\alpha$.

Дано:
Прямая $a$, плоскость $\alpha$.
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
Точка $T$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($T \in \alpha$).
Прямая $b$ проходит через точку $T$ ($T \in b$) и параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Доказать:
Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Доказательство:

Так как точка $T$ принадлежит плоскости $\alpha$, а прямая $a$ параллельна этой плоскости, то точка $T$ не может лежать на прямой $a$ ($T \notin a$). Через прямую $a$ и не лежащую на ней точку $T$ проведем плоскость $\beta$. Существование и единственность такой плоскости гарантируется соответствующей аксиомой стереометрии.

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $T$, следовательно, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Эта прямая $c$ проходит через точку $T$ и целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим прямые $a$ и $c$. Они обе лежат в построенной нами плоскости $\beta$. При этом прямая $a$ не может пересечь прямую $c$, так как по условию прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, а прямая $c$ целиком лежит в этой плоскости. Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, являются параллельными. Следовательно, $a \parallel c$.

Таким образом, мы получили, что прямая $c$ проходит через точку $T$ и параллельна прямой $a$. По условию задачи, прямая $b$ также проходит через точку $T$ и параллельна прямой $a$.

Согласно аксиоме о параллельных прямых (в пространстве), через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Отсюда следует, что прямые $b$ и $c$ должны совпадать, то есть $b \equiv c$.

Поскольку прямая $c$ по построению лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$), а прямые $b$ и $c$ совпадают, то и прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая, которая проходит через точку $T$, принадлежащую плоскости $\alpha$, и параллельна прямой $a$, также лежит в плоскости $\alpha$.