Номер 138, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

138. Дан параллелепипед $PQRSP_1Q_1R_1S_1$, на ребре $SS_1$ которого выбрана точка $B$ (рис. 180). Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $B$, $Q$, $P_1$.

Рис. 180

Для построения сечения параллелепипеда $PQRSP_1Q_1R_1S_1$ плоскостью, проходящей через точки $B$, $Q$ и $P_1$, воспользуемся методом следов. Этот метод заключается в построении линий пересечения секущей плоскости с плоскостями граней параллелепипеда.

Обозначим секущую плоскость как $\alpha = (BQP_1)$.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания $(PQRS)$

След плоскости — это прямая, по которой она пересекается с другой плоскостью. Чтобы построить след плоскости $\alpha$ на плоскости основания $(PQRS)$, нам нужно найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям.

Одна такая точка у нас уже есть — это точка $Q$.

Найдем вторую точку. Для этого найдем точку пересечения прямой $BP_1$, лежащей в секущей плоскости $\alpha$, с плоскостью основания $(PQRS)$.
Точки $B$ и $P_1$ лежат в плоскости боковой грани $(PSS_1P_1)$ (так как $B \in SS_1$ и $P_1$ — вершина этой грани). Следовательно, вся прямая $BP_1$ лежит в плоскости $(PSS_1P_1)$.
Плоскость грани $(PSS_1P_1)$ пересекается с плоскостью основания $(PQRS)$ по прямой $PS$.
Значит, точка пересечения прямой $BP_1$ с плоскостью $(PQRS)$ должна лежать на прямой $PS$.

Построение: В плоскости грани $(PSS_1P_1)$ построим прямые $BP_1$ и $PS$. Продлим их до пересечения в точке $X$. Точка $X$ является общей точкой для секущей плоскости $\alpha$ (так как $X \in BP_1$) и плоскости основания $(PQRS)$ (так как $X \in PS$).
Теперь у нас есть две точки, $Q$ и $X$, лежащие на линии пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $(PQRS)$. Проведя через них прямую, мы получим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

2. Построение сторон сечения на гранях $PQRS$, $SRR_1S_1$ и $PSS_1P_1$

Прямая $XQ$ пересекает ребро $RS$ параллелепипеда в некоторой точке $C$. Так как точки $Q$ и $C$ лежат на ребрах грани $PQRS$, отрезок $QC$ является стороной искомого сечения, лежащей в плоскости нижнего основания.

Теперь рассмотрим заднюю грань $(SRR_1S_1)$. Точка $C$ лежит на ее ребре $RS$, а точка $B$ — на ребре $SS_1$. Обе эти точки принадлежат секущей плоскости $\alpha$ и плоскости грани $(SRR_1S_1)$. Соединив их, получим отрезок $BC$ — сторону сечения на задней грани.

Рассмотрим боковую грань $(PSS_1P_1)$. Точка $B$ лежит на ее ребре $SS_1$, и точка $P_1$ является ее вершиной. Обе точки принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Соединив их, получим отрезок $BP_1$ — сторону сечения на боковой грани.

3. Построение сторон сечения на верхних и передних гранях

Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся свойством параллельных граней параллелепипеда: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

Верхняя грань $(P_1Q_1R_1S_1)$ параллельна нижней грани $(PQRS)$. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает нижнюю грань по прямой $QC$. Следовательно, верхнюю грань она пересечет по прямой, параллельной $QC$.

Построение: В плоскости верхней грани $(P_1Q_1R_1S_1)$ проведем через точку $P_1$ прямую, параллельную $QC$. Эта прямая пересечет ребро $Q_1R_1$ в некоторой точке $D$. Отрезок $P_1D$ — это сторона сечения на верхней грани.

Теперь у нас есть все вершины сечения: $Q, C, B, P_1, D$. Осталось соединить последние две точки, которые лежат в одной грани. Точки $Q$ и $D$ (где $D \in Q_1R_1$) лежат в плоскости передней грани $(QRR_1Q_1)$. Соединив их, получим отрезок $QD$ — последнюю сторону сечения.

Таким образом, мы построили замкнутый многоугольник $Q C B P_1 D$.

Ответ:

Искомым сечением является пятиугольник $Q C B P_1 D$, вершины которого лежат на ребрах параллелепипеда (или являются его вершинами) следующим образом: $C \in RS$, $D \in Q_1R_1$, а точки $Q, P_1, B$ заданы в условии. Построение сечения показано на рисунке ниже.