Номер 142, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

142. Докажите, что если данная прямая не лежит в пересекающихся плоскостях и параллельна линии их пересечения, то она параллельна и этим плоскостям.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линия их пересечения — прямая $c$, то есть $\alpha \cap \beta = c$. Также дана прямая $a$, которая не лежит в этих плоскостях ($a \not\subset \alpha$ и $a \not\subset \beta$) и параллельна линии их пересечения ($a \parallel c$). Требуется доказать, что прямая $a$ параллельна и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$.

Доказательство будем проводить на основе признака параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Рассмотрим плоскость $\alpha$. По условию задачи, прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $c$, как линия пересечения плоскостей, принадлежит плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Также по условию, прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). Таким образом, мы имеем прямую $a$, которая не лежит в плоскости $\alpha$, но при этом параллельна прямой $c$, которая лежит в этой плоскости. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, отсюда следует, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. Аналогично, прямая $c$ принадлежит и плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$). По условию, прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$ и $a \parallel c$. Следовательно, прямая $a$, не лежащая в плоскости $\beta$, параллельна прямой $c$, лежащей в этой плоскости. По тому же признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Мы доказали, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ и параллельна плоскости $\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая не лежит в пересекающихся плоскостях и параллельна их линии пересечения, то она параллельна каждой из этих плоскостей на основании признака параллельности прямой и плоскости.