Номер 141, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

141. Одно основание трапеции параллельно плоскости $\beta$, а вершина другого лежит в этой плоскости. Докажите, что:

a) другое основание трапеции лежит в плоскости $\beta$;

б) средняя линия трапеции параллельна плоскости $\beta$.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, и плоскость β.
По условию:

• Основание AD параллельно плоскости β, т.е. $AD \parallel \beta$.
• Основания трапеции по определению параллельны, т.е. $AD \parallel BC$.
• Одна из вершин другого основания (BC) лежит в плоскости β. Пусть это будет вершина C, т.е. $C \in \beta$.

а) другое основание трапеции лежит в плоскости β

Рассмотрим прямую BC. По определению трапеции, ее основания параллельны, следовательно, $BC \parallel AD$. По условию задачи, $AD \parallel \beta$.
Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если прямая ($BC$) параллельна другой прямой ($AD$), которая в свою очередь параллельна некоторой плоскости ($\beta$), то первая прямая ($BC$) либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
Таким образом, для прямой BC есть две возможности: $BC \parallel \beta$ или $BC \subset \beta$.
Если прямая параллельна плоскости, она не имеет с ней общих точек (либо целиком лежит в ней, но этот случай мы рассматриваем отдельно). По условию задачи, точка C принадлежит как прямой BC, так и плоскости β ($C \in BC$ и $C \in \beta$). Это означает, что прямая BC и плоскость β имеют как минимум одну общую точку C.
Следовательно, вариант, что прямая BC параллельна плоскости β (и не имеет с ней общих точек), невозможен.
Из этого следует единственно возможный вариант: прямая BC целиком лежит в плоскости β, то есть $BC \subset \beta$. Таким образом, второе основание трапеции лежит в плоскости β.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) средняя линия трапеции параллельна плоскости β

Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD, где M — середина боковой стороны AB, а N — середина боковой стороны CD.
По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. В частности, средняя линия MN параллельна основанию BC, т.е. $MN \parallel BC$.
В пункте (а) мы доказали, что основание $BC$ целиком лежит в плоскости β, то есть $BC \subset \beta$.
Теперь применим признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Мы уже знаем, что $MN \parallel BC$ и $BC \subset \beta$. Нам нужно убедиться, что сама прямая MN не лежит в плоскости β (в общем случае).
Рассмотрим общий случай, когда трапеция не находится полностью в плоскости β. Это означает, что основание AD не лежит в плоскости β. Так как по условию $AD \parallel \beta$, то прямая AD не имеет с плоскостью β общих точек. В частности, вершина $D$ не принадлежит плоскости β ($D \notin \beta$).
Точка N является серединой отрезка CD. Один конец этого отрезка, точка C, лежит в плоскости β ($C \in \beta$), а другой конец, точка D, не лежит в ней ($D \notin \beta$). В этом случае любая внутренняя точка отрезка CD, включая его середину N, не лежит в плоскости β.
Поскольку точка N, принадлежащая средней линии MN, не лежит в плоскости β, то и вся прямая MN не может лежать в плоскости β ($MN \not\subset \beta$).
Таким образом, мы имеем все условия для применения признака параллельности прямой и плоскости:

• Прямая MN параллельна прямой BC ($MN \parallel BC$).
• Прямая BC лежит в плоскости β ($BC \subset \beta$).
• Прямая MN не лежит в плоскости β ($MN \not\subset \beta$).

Из этих условий следует, что средняя линия трапеции параллельна плоскости β, т.е. $MN \parallel \beta$.

Ответ: Что и требовалось доказать.