Номер 147, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

147. Точки $D$ и $E$ на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны так, что $DE = 5 \text{ см}$ и $\frac{BD}{DA} = \frac{2}{3}$. Плоскость, проведённая через точки $B$ и $C$, параллельна отрезку $DE$. Найдите длину отрезка $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, поэтому отрезок $DE$ лежит в плоскости треугольника $ABC$.

По условию задачи, через точки $B$ и $C$ проведена плоскость, назовем ее $\alpha$, которая параллельна отрезку $DE$. Прямая $BC$ также лежит в этой плоскости $\alpha$.

По свойству параллельности прямой и плоскости: если плоскость (в нашем случае, плоскость треугольника $ABC$) проходит через прямую ($DE$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (прямая $BC$) параллельна данной прямой ($DE$). Следовательно, мы можем утверждать, что отрезок $DE$ параллелен отрезку $BC$ ($DE \parallel BC$).

Так как прямая $DE$ параллельна стороне $BC$ треугольника $ABC$ и пересекает две другие его стороны, то по теореме о подобных треугольниках, треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия: $$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} $$

Найдем коэффициент подобия, используя данное в условии отношение $\frac{BD}{DA} = \frac{2}{3}$. Сторона $AB$ является суммой отрезков $AD$ и $DB$: $$ AB = AD + DB $$ Из соотношения $\frac{BD}{DA} = \frac{2}{3}$ выразим $BD$: $BD = \frac{2}{3}DA$. Подставим это в выражение для $AB$: $$ AB = AD + \frac{2}{3}DA = \left(1 + \frac{2}{3}\right)DA = \frac{5}{3}DA $$

Теперь мы можем найти отношение сторон $\frac{AD}{AB}$, которое является коэффициентом подобия: $$ \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{\frac{5}{3}DA} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} $$

Теперь воспользуемся равенством отношений для сторон $DE$ и $BC$: $$ \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} $$ Подставим известные значения: $DE = 5$ см и коэффициент подобия $\frac{3}{5}$. $$ \frac{5}{BC} = \frac{3}{5} $$

Выразим из этого уравнения искомую длину $BC$: $$ 3 \cdot BC = 5 \cdot 5 $$ $$ 3 \cdot BC = 25 $$ $$ BC = \frac{25}{3} \text{ см} $$ Это значение также можно записать в виде смешанной дроби: $8\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $\frac{25}{3}$ см.