Номер 154, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

154*. Точка А — середина ребра FK четырёхугольной пирамиды FGHEK, в основании которой лежит трапеция GHEK, $KG \parallel HE$. Постройте точку P, в которой плоскость AEH пересекает прямую FG. Докажите, что отрезки PE и HA пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, учитывая, что средняя линия трапеции GHEK равна $\frac{3}{2} HE$.

Построение точки P

Точка $P$ — это точка пересечения плоскости $(AEH)$ и прямой $FG$. Для её построения найдём прямую, по которой плоскость $(AEH)$ пересекается с плоскостью грани $(FGK)$, в которой лежит прямая $FG$.

1. В основании пирамиды лежит трапеция $GHEK$, причём её основания $KG$ и $HE$ параллельны: $KG \parallel HE$.

2. Прямая $HE$ принадлежит плоскости $(AEH)$. Прямая $KG$ принадлежит плоскости $(FGK)$. Поскольку $HE \parallel KG$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $HE$ параллельна плоскости $(FGK)$.

3. Плоскость $(AEH)$ проходит через прямую $HE$, которая параллельна плоскости $(FGK)$. Точка $A$ принадлежит плоскости $(AEH)$ по определению, и в то же время принадлежит плоскости $(FGK)$, так как лежит на ребре $FK$. Следовательно, плоскости $(AEH)$ и $(FGK)$ пересекаются.

4. По свойству пересекающихся плоскостей, если одна из них проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия их пересечения параллельна этой прямой. Значит, линия пересечения плоскостей $(AEH)$ и $(FGK)$ — это прямая, проходящая через их общую точку $A$ параллельно прямой $HE$.

5. Точка $P$ лежит на прямой $FG$ и в плоскости $(AEH)$, значит, она должна лежать на линии пересечения плоскости $(AEH)$ с плоскостью $(FGK)$.

Таким образом, точка $P$ — это точка пересечения прямой $FG$ с прямой, проходящей через точку $A$ параллельно $HE$ (и $KG$).

Ответ: Для построения точки $P$ нужно в плоскости грани $FGK$ провести через точку $A$ прямую, параллельную ребру $GK$. Точка пересечения этой прямой с ребром $FG$ и будет искомой точкой $P$.

Доказательство того, что отрезки PE и HA пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Чтобы доказать, что отрезки $PE$ и $HA$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, достаточно доказать, что четырёхугольник $APHE$ является параллелограммом, а $PE$ и $HA$ — его диагонали.

1. Параллельность сторон. По построению, точка $P$ лежит на прямой, проходящей через $A$ и параллельной $KG$. Следовательно, $AP \parallel KG$. По условию задачи, основания трапеции $KG \parallel HE$. Из этого следует, что $AP \parallel HE$.

2. Равенство сторон. Рассмотрим треугольник $FGK$. Прямая $AP$ параллельна его стороне $GK$, при этом точка $A$ лежит на стороне $FK$, а точка $P$ — на стороне $FG$. Значит, треугольник $FAP$ подобен треугольнику $FGK$. Из подобия следует: $ \frac{AP}{GK} = \frac{FA}{FK} $

По условию, $A$ — середина ребра $FK$, поэтому $\frac{FA}{FK} = \frac{1}{2}$. Тогда $\frac{AP}{GK} = \frac{1}{2}$, откуда получаем $AP = \frac{1}{2} GK$.

3. Использование условия о средней линии. Средняя линия трапеции $GHEK$ с основаниями $GK$ и $HE$ вычисляется по формуле $m = \frac{GK + HE}{2}$. По условию задачи, $m = \frac{3}{2} HE$. Приравняем эти выражения: $ \frac{GK + HE}{2} = \frac{3}{2} HE $

Умножим обе части уравнения на 2: $ GK + HE = 3 HE $

$ GK = 2 HE $, или $HE = \frac{1}{2} GK$.

4. Вывод. Из пунктов 2 и 3 мы получили, что $AP = \frac{1}{2} GK$ и $HE = \frac{1}{2} GK$. Следовательно, $AP = HE$.

Таким образом, в четырёхугольнике $APHE$ противолежащие стороны $AP$ и $HE$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, $APHE$ является параллелограммом.

В любом параллелограмме диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Диагоналями параллелограмма $APHE$ являются отрезки $PE$ и $HA$. Следовательно, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.