Номер 3, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Это одна из ключевых теорем стереометрии, которая позволяет устанавливать параллельность плоскостей на основе свойств прямых, лежащих в этих плоскостях. Ниже представлено развернутое доказательство этого признака.

Доказательство теоремы

Пусть нам даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. В плоскости $\alpha$ лежат две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$. В плоскости $\beta$ лежат прямые $a_1$ и $b_1$. По условию теоремы, прямая $a$ параллельна прямой $a_1$ ($a \parallel a_1$), а прямая $b$ параллельна прямой $b_1$ ($b \parallel b_1$). Нам нужно доказать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).

Доказательство будет основано на признаке параллельности прямой и плоскости и будет проводиться методом от противного.

1. Рассмотрим прямую $a$ и плоскость $\beta$. По условию, $a \parallel a_1$, а прямая $a_1$ лежит в плоскости $\beta$ ($a_1 \subset \beta$). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая не лежит в данной плоскости и параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Так как $a \subset \alpha$, а плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, то $a$ не лежит в $\beta$. Следовательно, $a \parallel \beta$.
2. Аналогично рассуждаем для прямой $b$. По условию, $b \parallel b_1$, а прямая $b_1$ лежит в плоскости $\beta$ ($b_1 \subset \beta$). Следовательно, по тому же признаку, $b \parallel \beta$.
3. Итак, мы установили, что две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ в плоскости $\alpha$ параллельны плоскости $\beta$.
4. Теперь предположим противное: пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Это означает, что они должны пересекаться по некоторой прямой, назовем ее $c$. То есть, $\alpha \cap \beta = c$.
5. Мы знаем, что прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и при этом $a \parallel \beta$. Из параллельности прямой $a$ и плоскости $\beta$ следует, что $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\beta$. Прямая $c$ полностью лежит в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$), поэтому прямая $a$ не может пересекать прямую $c$. Поскольку обе прямые, $a$ и $c$, лежат в одной плоскости $\alpha$ и не пересекаются, они обязаны быть параллельными: $a \parallel c$.
6. Проведем те же рассуждения для прямой $b$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$) и $b \parallel \beta$. Значит, $b$ не пересекает прямую $c$, которая лежит в плоскости $\beta$. Так как $b$ и $c$ также лежат в одной плоскости $\alpha$ и не пересекаются, они тоже параллельны: $b \parallel c$.
7. В результате мы пришли к следующей ситуации: в плоскости $\alpha$ через точку $M$ (точка пересечения прямых $a$ и $b$) проходят две различные прямые, $a$ и $b$, и обе они параллельны одной и той же прямой $c$. Это противоречит аксиоме параллельных прямых (следствию из нее), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
8. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, было неверным.
9. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не имеют общих точек, что по определению означает, что они параллельны. Теорема доказана.

Ответ: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.