Номер 151, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

151. Точка $Q$ — середина ребра $FA$ четырёхугольной пирамиды $FABCD$, основанием которой является трапеция $ABCD$ с параллельными сторонами $BC$ и $AD$. Найдите отрезок, по которому плоскость $QBC$ пересекает грань $FAD$, учитывая, что ребро $BC$ и средняя линия трапеции соответственно равны 30 см и 40 см. Рис. 182

Обозначим плоскость сечения как $\alpha = (QBC)$. Нам нужно найти отрезок, по которому плоскость $\alpha$ пересекает грань $FAD$.

1. В основании пирамиды лежит трапеция $ABCD$ с параллельными сторонами $BC$ и $AD$. Это означает, что $BC \parallel AD$.

2. Прямая $BC$ лежит в плоскости сечения $\alpha$. Прямая $AD$ лежит в плоскости грани $FAD$. Так как $BC \parallel AD$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $BC$ параллельна плоскости грани $FAD$.

3. По свойству пересекающихся плоскостей: если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую ($BC$), параллельную другой плоскости ($FAD$), и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $FAD$ параллельна прямой $BC$, а значит и прямой $AD$.

4. Точка $Q$ по условию принадлежит ребру $FA$, которое является стороной грани $FAD$. Также точка $Q$ принадлежит плоскости сечения $\alpha = (QBC)$. Следовательно, точка $Q$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $FAD$.

5. Проведем в плоскости грани $FAD$ через точку $Q$ прямую, параллельную $AD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $FD$ в точке $P$. Тогда искомый отрезок — это $QP$.

6. Рассмотрим треугольник $FAD$. Точка $Q$ — середина стороны $FA$ по условию. Прямая $QP$ параллельна стороне $AD$ по построению. По теореме о средней линии треугольника, если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно второй стороне, то он является средней линией. Таким образом, $QP$ — средняя линия треугольника $FAD$.

7. Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна: $QP = \frac{1}{2}AD$. Чтобы найти длину $QP$, нам нужно сначала найти длину основания $AD$.

8. Длина основания $AD$ находится из формулы средней линии трапеции $ABCD$. Пусть $m$ — средняя линия трапеции. Формула средней линии: $m = \frac{BC + AD}{2}$.

По условию $BC = 30$ см и $m = 40$ см. Подставим эти значения в формулу: $40 = \frac{30 + AD}{2}$

Умножим обе части на $2$: $80 = 30 + AD$

Отсюда находим $AD$: $AD = 80 - 30 = 50$ см.

9. Теперь, зная длину $AD$, мы можем найти длину искомого отрезка $QP$: $QP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25$ см.

Ответ: $25$ см.