Номер 4, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Сформулируйте утверждение о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

Утверждение (свойство параллельных плоскостей)

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Развернутое доказательство

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ (что записывается как $ \alpha \parallel \beta $).
Пусть третья плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $a$ и плоскость $\beta$ по прямой $b$.
Формально: $ \alpha \cap \gamma = a $ и $ \beta \cap \gamma = b $.
Требуется доказать, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($ a \parallel b $).

Доказательство проведем методом от противного.

1. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\gamma$. Это следует из условия, так как обе прямые являются результатом пересечения плоскости $\gamma$ с другими плоскостями.
2. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Поскольку они лежат в одной плоскости, это означает, что они должны пересекаться в некоторой точке $M$.
3. Если точка $M$ лежит на прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
4. Аналогично, если точка $M$ лежит на прямой $b$ ($M \in b$), а прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).
5. Таким образом, мы приходим к выводу, что точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.
6. Однако это противоречит исходному условию, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек.
7. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, было неверным.
8. Следовательно, прямые $a$ и $b$, лежащие в одной плоскости $\gamma$ и не пересекающиеся, по определению являются параллельными. То есть, $ a \parallel b $.

Утверждение доказано.

Ответ: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.