Номер 6, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Сформулируйте утверждение об отрезках, которые три параллельные плоскости отсекают на произвольных прямых.

Это утверждение является обобщением теоремы Фалеса для трехмерного пространства и известно как теорема о пропорциональных отрезках в пространстве или обобщенная теорема Фалеса.

Формулировка утверждения

Если три (или более) параллельные плоскости пересекают две произвольные прямые, то отношение длин отрезков, отсекаемых на одной прямой, равно отношению длин соответствующих отрезков, отсекаемых на другой прямой.

Подробное объяснение и доказательство

Рассмотрим три параллельные плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ ($\alpha \parallel \beta \parallel \gamma$) и две произвольные прямые $a$ и $b$, которые их пересекают. Прямая $a$ пересекает плоскости в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, а прямая $b$ — в точках $A_2$, $B_2$, $C_2$.

Утверждение гласит, что выполняется следующее соотношение: $$ \frac{|A_1B_1|}{|B_1C_1|} = \frac{|A_2B_2|}{|B_2C_2|} $$

Для доказательства этого утверждения рассмотрим наиболее общий случай, когда прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

1. Проведем через точку $A_1$, принадлежащую прямой $a$, прямую $b'$, параллельную прямой $b$.
2. Так как прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $A_1$, они определяют некоторую плоскость $\delta$.
3. Прямая $b'$ пересечет плоскости $\beta$ и $\gamma$ в точках $B'_2$ и $C'_2$ соответственно.
4. В плоскости $\delta$ лежат две пересекающиеся прямые ($a$ и $b'$) и три параллельные прямые (линии пересечения плоскости $\delta$ с плоскостями $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$). По теореме Фалеса для плоского случая имеем: $$ \frac{|A_1B_1|}{|B_1C_1|} = \frac{|A_1B'_2|}{|B'_2C'_2|} $$
5. Теперь рассмотрим пару параллельных прямых $b$ и $b'$. Плоскость, проходящая через них, пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по параллельным прямым $A_1A_2$ и $B'_2B_2$. Следовательно, четырехугольник $A_1A_2B_2B'_2$ является параллелограммом, а значит, $|A_1B'_2| = |A_2B_2|$.
6. Аналогично, четырехугольник $B'_2B_2C_2C'_2$ является параллелограммом, и $|B'_2C'_2| = |B_2C_2|$.
7. Подставив равенства длин из шагов 5 и 6 в пропорцию из шага 4, получаем требуемое равенство: $$ \frac{|A_1B_1|}{|B_1C_1|} = \frac{|A_2B_2|}{|B_2C_2|} $$

Таким образом, утверждение доказано для любого взаимного расположения прямых $a$ и $b$.

Ответ: Если три параллельные плоскости пересекают две произвольные прямые, то отрезки, отсекаемые на этих прямых между плоскостями, пропорциональны. Если точки пересечения первой прямой с плоскостями – $A_1, B_1, C_1$, а второй – $A_2, B_2, C_2$, то справедливо равенство: $ \frac{|A_1B_1|}{|B_1C_1|} = \frac{|A_2B_2|}{|B_2C_2|} $.