Номер 7, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Сформулируйте утверждение о плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости.

Утверждение (теорема о существовании и единственности плоскости, параллельной данной)

Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, параллельная данной плоскости.

Это утверждение является фундаментальной теоремой стереометрии. Развернутый ответ включает в себя доказательство того, что такая плоскость существует и что она является единственной.

Доказательство

Пусть нам дана плоскость $\alpha$ и произвольная точка $M$ в пространстве.

1. Доказательство существования

Необходимо доказать, что плоскость, проходящая через точку $M$ и параллельная плоскости $\alpha$, существует. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

В этом случае искомой плоскостью является сама плоскость $\alpha$. Она проходит через точку $M$ и по определению параллельна самой себе (совпадающие плоскости считаются частным случаем параллельных).

Случай 2: Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$).

Для построения искомой плоскости выберем в плоскости $\alpha$ две произвольные пересекающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. Далее через точку $M$ проведем прямую $a_1$, параллельную прямой $a$, и прямую $b_1$, параллельную прямой $b$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такие прямые существуют и единственны.

Так как исходные прямые $a$ и $b$ пересекаются, то и прямые $a_1$ и $b_1$ будут пересекаться (в точке $M$). Через две пересекающиеся прямые $a_1$ и $b_1$ можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

Теперь докажем, что $\beta \parallel \alpha$. По признаку параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости (в нашем случае $a_1$ и $b_1$ в плоскости $\beta$) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости ($a$ и $b$ в плоскости $\alpha$), то эти плоскости параллельны. Таким образом, мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $\alpha$. Существование доказано.

2. Доказательство единственности

Теперь докажем, что построенная плоскость $\beta$ — единственная. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что существует еще одна плоскость, назовем ее $\gamma$, которая также проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $\alpha$, но при этом не совпадает с плоскостью $\beta$ ($\gamma \neq \beta$).

Возьмем построенные нами ранее прямые $a_1$ и $b_1$, которые лежат в плоскости $\beta$, пересекаются в точке $M$ и параллельны прямым $a$ и $b$ из плоскости $\alpha$ ($a_1 \parallel a$, $b_1 \parallel b$).

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку $M$. Эта плоскость пересечет параллельные плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по параллельным прямым. Линия пересечения с плоскостью $\alpha$ — это прямая $a$. Линия пересечения с плоскостью $\gamma$ — это некоторая прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная $a$. Но по аксиоме о параллельных, через точку $M$ проходит только одна прямая, параллельная $a$, — это прямая $a_1$. Следовательно, прямая $a_1$ должна лежать не только в плоскости $\beta$, но и в плоскости $\gamma$.

Аналогично, рассуждая для прямой $b$, мы докажем, что прямая $b_1$ также должна лежать в плоскости $\gamma$.

Получается, что две пересекающиеся прямые $a_1$ и $b_1$ принадлежат как плоскости $\beta$, так и плоскости $\gamma$. Но через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость. Отсюда следует, что плоскости $\beta$ и $\gamma$ должны совпадать.

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $\beta \neq \gamma$. Следовательно, наше предположение было неверным, и плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости, единственна.

Теорема полностью доказана.

Ответ:

Утверждение (теорема): через любую точку пространства проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна. Если точка принадлежит данной плоскости, то искомая плоскость совпадает с данной. Если точка не принадлежит данной плоскости, то существование и единственность такой плоскости доказывается путем ее построения через две прямые, проходящие через данную точку и параллельные двум пересекающимся прямым в данной плоскости, с последующим доказательством уникальности методом от противного.