Номер 12, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$. Определите, будет ли прямая $m$ параллельна плоскости $\beta$.

Да, прямая $m$ будет параллельна плоскости $\beta$.

Это утверждение можно доказать методом от противного. Давайте предположим, что прямая $m$ не параллельна плоскости $\beta$. Если прямая не параллельна плоскости, это означает, что у них есть как минимум одна общая точка. Возможны два сценария:

1. Прямая $m$ пересекает плоскость $\beta$ в единственной точке. Обозначим эту точку как $P$.
2. Прямая $m$ полностью лежит в плоскости $\beta$.

Рассмотрим оба варианта.

В первом случае, если прямая $m$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $P$, то точка $P$ принадлежит как прямой $m$ ($P \in m$), так и плоскости $\beta$ ($P \in \beta$).

По условию задачи, прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$ ($m \subset \alpha$). Это означает, что каждая точка прямой $m$, включая точку $P$, также принадлежит и плоскости $\alpha$. Следовательно, $P \in \alpha$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что точка $P$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Однако это напрямую противоречит исходному условию, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек.

Во втором случае, если прямая $m$ лежит в плоскости $\beta$ ($m \subset \beta$), а по условию она также лежит в плоскости $\alpha$ ($m \subset \alpha$), то это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую прямую $m$. Это значит, что они пересекаются, что также противоречит условию их параллельности.

Поскольку оба предположения (что прямая $m$ пересекает плоскость $\beta$ или лежит в ней) приводят к противоречию, наше первоначальное допущение о том, что прямая $m$ не параллельна плоскости $\beta$, является ложным. Следовательно, единственно верным является утверждение, что прямая $m$ параллельна плоскости $\beta$.

Ответ: Да, прямая $m$ будет параллельна плоскости $\beta$.