Номер 9, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Сформулируйте утверждение о параллельных плоскостях, определяемых парой скрещивающихся прямых.

Утверждение о параллельных плоскостях, определяемых парой скрещивающихся прямых, является одной из ключевых теорем стереометрии.

Формулировка утверждения (теорема)

Через две любые скрещивающиеся прямые проходит пара параллельных плоскостей, и притом только одна. Каждая из этих плоскостей содержит одну из данных прямых.

Доказательство

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Доказательство теоремы традиционно разбивается на две части: доказательство существования такой пары плоскостей и доказательство ее единственности.

1. Существование

Докажем, что такая пара плоскостей существует, путем их построения.

Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$ (они не могут быть параллельны или совпадать, так как иначе прямые $a$ и $b$ не были бы скрещивающимися). Две пересекающиеся прямые ($a$ и $b'$) определяют единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Аналогично, выберем на прямой $b$ произвольную точку $N$. Через точку $N$ проведем прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Прямые $b$ и $a'$ пересекаются в точке $N$ и определяют единственную плоскость $\beta$. По построению, прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).

Теперь докажем, что построенные плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Плоскость $\alpha$ задана пересекающимися прямыми $a$ и $b'$. Плоскость $\beta$ задана пересекающимися прямыми $b$ и $a'$. По нашему построению, прямая $a$ параллельна прямой $a'$ ($a \parallel a'$), а прямая $b'$ параллельна прямой $b$ (так как $b' \parallel b$). Согласно признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, $\alpha \parallel \beta$.

Таким образом, мы доказали существование пары параллельных плоскостей, каждая из которых содержит одну из данных скрещивающихся прямых.

2. Единственность

Теперь докажем, что такая пара плоскостей единственна.

Предположим, что существует другая пара параллельных плоскостей, $\alpha_1$ и $\beta_1$, такая, что $a \subset \alpha_1$, $b \subset \beta_1$ и $\alpha_1 \parallel \beta_1$.

Рассмотрим плоскость $\alpha_1$. Она содержит прямую $a$. Поскольку плоскости $\alpha_1$ и $\beta_1$ параллельны, а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta_1$, то из этого следует, что прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha_1$ ($b \parallel \alpha_1$).

Вспомним нашу прямую $b'$, которую мы строили ранее: $b'$ проходит через точку $M$ на прямой $a$ и параллельна прямой $b$. Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$, она также принадлежит и плоскости $\alpha_1$. Прямая ($b'$), проходящая через точку ($M$) плоскости ($\alpha_1$) параллельно прямой ($b$), которая параллельна этой плоскости, лежит в этой плоскости ($\alpha_1$). Значит, прямая $b'$ целиком лежит в плоскости $\alpha_1$.

Таким образом, плоскость $\alpha_1$ проходит через те же самые пересекающиеся прямые $a$ и $b'$, что и плоскость $\alpha$. А поскольку через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, то плоскости $\alpha_1$ и $\alpha$ совпадают ($\alpha_1 = \alpha$).

Аналогичным образом доказывается, что плоскость $\beta_1$ совпадает с плоскостью $\beta$.

Следовательно, построенная пара параллельных плоскостей является единственной. Теорема полностью доказана.

Ответ: Через любые две скрещивающиеся прямые проходит ровно одна пара параллельных плоскостей, причем каждая из этих плоскостей содержит одну из данных прямых.