Номер 13, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Учитывая, что параллельные отрезки $T_1T_2$, $U_1U_2$ и $V_1V_2$ заключены между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ (рис. 196):

а) определите вид четырёхугольников $T_1U_1U_2T_2$, $U_1V_1V_2U_2$ и $T_1V_1V_2T_2$;

б) верно ли, что $\triangle T_1U_1V_1 = \triangle T_2U_2V_2$.

Рис. 196

а) определите вид четырёхугольников $T_1U_1U_2T_2$, $U_1V_1V_2U_2$ и $T_1V_1V_2T_2$;

Рассмотрим четырёхугольник $T_1U_1U_2T_2$. Его вершины $T_1, U_1$ лежат в плоскости $\alpha$, а вершины $T_2, U_2$ — в плоскости $\beta$. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), а отрезки $T_1T_2$ и $U_1U_2$ также параллельны ($T_1T_2 \parallel U_1U_2$).

По свойству отрезков параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями, их длины равны. Следовательно, $T_1T_2 = U_1U_2$.

В четырёхугольнике $T_1U_1U_2T_2$ противолежащие стороны $T_1T_2$ и $U_1U_2$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Аналогичные рассуждения применяются и к двум другим четырёхугольникам:

Для четырёхугольника $U_1V_1V_2U_2$: стороны $U_1U_2$ и $V_1V_2$ параллельны по условию ($U_1U_2 \parallel V_1V_2$) и равны ($U_1U_2 = V_1V_2$) как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Следовательно, $U_1V_1V_2U_2$ — параллелограмм.

Для четырёхугольника $T_1V_1V_2T_2$: по условию $T_1T_2 \parallel V_1V_2$. Так как они также лежат между параллельными плоскостями, то $T_1T_2 = V_1V_2$. Следовательно, $T_1V_1V_2T_2$ — параллелограмм.

Ответ: Четырёхугольники $T_1U_1U_2T_2$, $U_1V_1V_2U_2$ и $T_1V_1V_2T_2$ являются параллелограммами.

б) верно ли, что $\triangle T_1U_1V_1 = \triangle T_2U_2V_2$;

Рассмотрим треугольники $\triangle T_1U_1V_1$ и $\triangle T_2U_2V_2$. Чтобы доказать их равенство (конгруэнтность), сравним их соответствующие стороны.

Как было доказано в пункте а), все три рассматриваемых четырёхугольника являются параллелограммами. В параллелограмме противолежащие стороны равны. Отсюда следует:

Из параллелограмма $T_1U_1U_2T_2$ имеем: $T_1U_1 = T_2U_2$.

Из параллелограмма $U_1V_1V_2U_2$ имеем: $U_1V_1 = U_2V_2$.

Из параллелограмма $T_1V_1V_2T_2$ имеем: $T_1V_1 = T_2V_2$.

Таким образом, мы видим, что три стороны треугольника $\triangle T_1U_1V_1$ соответственно равны трём сторонам треугольника $\triangle T_2U_2V_2$.

По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, утверждение $\triangle T_1U_1V_1 = \triangle T_2U_2V_2$ является верным.

Ответ: Да, верно.