Номер 152, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

152. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 60 см, а боковое ребро — 78 см. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух противоположных сторон основания и параллельной какому-либо боковому ребру, и найдите площадь сечения.

Построение сечения

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. По условию, сторона основания $a = 60$ см, а боковое ребро $l = 78$ см.

Секущая плоскость, обозначим её $\alpha$, проходит через середины двух противоположных сторон основания, например, $AD$ и $BC$. Пусть $M$ – середина $AD$, а $N$ – середина $BC$. Таким образом, прямая $MN$ лежит в секущей плоскости $\alpha$.

Также плоскость $\alpha$ параллельна одному из боковых рёбер. В силу симметрии правильной пирамиды, выбор ребра не повлияет на форму и площадь сечения. Выберем боковое ребро $SC$.

Построим сечение пошагово:

1. Так как плоскость $\alpha$ параллельна ребру $SC$, то она пересекает любую плоскость, содержащую $SC$, по прямой, параллельной $SC$. Плоскость боковой грани $SBC$ содержит ребро $SC$. Точка $N$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и грани $SBC$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $SBC$ – это прямая, проходящая через точку $N$ параллельно $SC$.
2. В треугольнике $SBC$ проведём через середину стороны $BC$ (точку $N$) прямую, параллельную $SC$. По теореме о средней линии, эта прямая пересечёт ребро $SB$ в его середине. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, отрезок $NK$ является частью сечения и средней линией треугольника $SBC$.
3. Теперь рассмотрим пересечение плоскости $\alpha$ с гранью $SAB$. Прямая $MN$ в основании параллельна стороне $AB$. Так как плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$, а плоскость грани $SAB$ содержит прямую $AB$, и $MN \parallel AB$, то линия их пересечения также будет параллельна $AB$.
4. Эта линия пересечения проходит через точку $K$, которая лежит на ребре $SB$ и принадлежит обеим плоскостям ($\alpha$ и $SAB$). Проведём в треугольнике $SAB$ через середину стороны $SB$ (точку $K$) прямую, параллельную $AB$. По теореме о средней линии, она пересечёт ребро $SA$ в его середине. Обозначим эту точку $L$. Отрезок $LK$ является частью сечения и средней линией треугольника $SAB$.
5. Мы получили четыре вершины сечения: $M, N, K, L$. Соединив их, получаем искомое сечение – четырёхугольник $MNKL$.

Определим вид полученного сечения $MNKL$:

• $M$ и $N$ – середины $AD$ и $BC$. В квадрате $ABCD$ отрезок $MN$ параллелен $AB$ и равен ему: $MN = AB = 60$ см.
• $L$ и $K$ – середины $SA$ и $SB$. $LK$ – средняя линия $\triangle SAB$, поэтому $LK \parallel AB$ и $LK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$ см.
• Поскольку $MN \parallel AB$ и $LK \parallel AB$, то $MN \parallel LK$. Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, является трапецией.
• $N$ и $K$ – середины $BC$ и $SB$. $NK$ – средняя линия $\triangle SBC$, поэтому $NK = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2} \cdot 78 = 39$ см.
• $M$ и $L$ – середины $AD$ и $SA$. $ML$ – средняя линия $\triangle SAD$, поэтому $ML = \frac{1}{2}SD$. Так как пирамида правильная, $SD = SC = l = 78$ см, следовательно, $ML = \frac{1}{2} \cdot 78 = 39$ см.
• Трапеция $MNKL$ имеет равные боковые стороны ($ML = NK = 39$ см), значит, она является равнобедренной.

Нахождение площади сечения

Площадь сечения равна площади равнобедренной трапеции $MNKL$. Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $b_1$ и $b_2$ – длины оснований, а $h$ – высота.

Основания трапеции: $MN = 60$ см и $LK = 30$ см.

Для нахождения высоты $h$ трапеции проведём из вершины $L$ перпендикуляр $LL'$ к основанию $MN$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $ML'$, отсекаемого высотой от большего основания, равна полуразности оснований:$ML' = \frac{MN - LK}{2} = \frac{60 - 30}{2} = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MLL'$. Гипотенуза $ML = 39$ см, катет $ML' = 15$ см. По теореме Пифагора найдём второй катет $LL'$, который является высотой трапеции $h$:

$h^2 + (ML')^2 = ML^2$

$h^2 + 15^2 = 39^2$

$h^2 = 39^2 - 15^2 = (39 - 15)(39 + 15) = 24 \cdot 54 = 1296$

$h = \sqrt{1296} = 36$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции $MNKL$:

$S = \frac{60 + 30}{2} \cdot 36 = \frac{90}{2} \cdot 36 = 45 \cdot 36 = 1620$ см$^2$.

Ответ: $1620 \text{ см}^2$.