Номер 139, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

139. На рисунке 181 изображена четырёхугольная пирамида, основанием которой является трапеция $MNKL$ с основаниями $KL$ и $MN$. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $B$ ребра $SL$ и прямую $MN$. Какой фигурой является сечение?

Рис. 181

Для решения задачи выполним построение сечения и определим его геометрическую форму.

Секущая плоскость, назовем ее $\alpha$, задана прямой $MN$ и точкой $B$ на ребре $SL$.

1. Так как секущая плоскость $\alpha$ проходит через прямую $MN$, отрезок $MN$ является стороной искомого сечения. Этот отрезок является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания пирамиды $(MNK)$.
2. Точки $N$ (вершина основания) и $B$ (на ребре $SL$) лежат в одной плоскости боковой грани $(SNL)$. Соединив их, получим отрезок $NB$ — вторую сторону сечения.
3. В основании пирамиды лежит трапеция $MNKL$, у которой, по условию, основания параллельны: $MN || KL$.
4. Рассмотрим секущую плоскость $\alpha = (MNB)$ и плоскость боковой грани $(SKL)$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $MN$, а плоскость $(SKL)$ проходит через прямую $KL$. Так как $MN || KL$, то по теореме о пересечении двух плоскостей третьей, линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(SKL)$ будет параллельна прямым $MN$ и $KL$.
5. Эта линия пересечения должна проходить через точку $B$, так как точка $B$ принадлежит обеим плоскостям ( $B \in \alpha$ по определению, и $B \in (SKL)$ так как $B \in SL$ ). Проведем в плоскости $(SKL)$ через точку $B$ прямую, параллельную $KL$. Эта прямая пересечет ребро $SK$ в некоторой точке, которую мы назовем $C$. Отрезок $BC$ является третьей стороной сечения, и по построению $BC || KL$.
6. Точки $C$ и $M$ лежат в плоскости боковой грани $(SMK)$. Соединив их, получим отрезок $CM$, который является четвертой, замыкающей стороной сечения.
7. Таким образом, искомое сечение представляет собой четырёхугольник $MNCB$.

Рассмотрим свойства полученного в сечении четырёхугольника $MNCB$.

По условию задачи, основания трапеции $MNKL$ параллельны: $MN || KL$.

При построении сечения мы провели отрезок $BC$ параллельно прямой $KL$: $BC || KL$.

Из того, что $MN || KL$ и $BC || KL$, по свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве следует, что $MN || BC$.

Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие, в общем случае, не параллельны, является трапецией. Следовательно, фигура $MNCB$ — трапеция.

Ответ: сечением является трапеция $MNCB$.