Номер 132, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

132. Все рёбра правильной треугольной призмы $XYZX_1Y_1Z_1$ равны друг другу, а точка $S$ — середина диагонали $XZ_1$ грани $XX_1Z_1Z$ (рис. 179). Сделайте такой рисунок в тетради и:

а) постройте точку пересечения с гранью $XX_1Y_1Y$ прямой $p$, которая проходит через точку $S$ и параллельна медиане $Z_1T$ грани $X_1Y_1Z_1$;

б) найдите площадь боковой поверхности призмы, учитывая, что длина отрезка прямой $p$, расположенного внутри призмы, равна 10 см.

Рис. 179

а)

Для построения точки пересечения прямой $p$ с гранью $XX_1Y_1Y$ выполним следующие шаги:

1. Обозначим длину ребра призмы через $a$. По условию, все рёбра равны, значит, основания $XYZ$ и $X_1Y_1Z_1$ — равносторонние треугольники со стороной $a$, а боковые грани — квадраты со стороной $a$.
2. Рассмотрим плоскость $\alpha$, проходящую через середины боковых рёбер $XX_1$, $YY_1$, $ZZ_1$. Обозначим эти середины как $M$, $N$, $L$ соответственно. Сечением призмы этой плоскостью является равносторонний треугольник $MNL$, равный основаниям призмы.
3. Точка $S$ — середина диагонали $XZ_1$ квадрата $XX_1Z_1Z$. Отрезок $ML$ соединяет середины противоположных сторон этого квадрата ($XX_1$ и $ZZ_1$), следовательно, он проходит через центр квадрата, то есть через точку $S$. Таким образом, точка $S$ лежит в плоскости $\alpha$ и является серединой стороны $ML$ треугольника $MNL$.
4. Прямая $p$ по условию проходит через точку $S$ и параллельна медиане $Z_1T$ верхнего основания. Так как плоскость $\alpha$ ($\triangle MNL$) параллельна плоскости верхнего основания ($\triangle X_1Y_1Z_1$), а точка $S$ принадлежит плоскости $\alpha$, то вся прямая $p$ лежит в плоскости $\alpha$.
5. Искомая точка пересечения прямой $p$ с гранью $XX_1Y_1Y$ — это точка пересечения прямой $p$ с линией пересечения плоскости $\alpha$ и грани $XX_1Y_1Y$. Эта линия пересечения — отрезок $MN$.
6. Задача сводится к построению в плоскости $\triangle MNL$. Прямая $p$ проходит через $S$ (середину $ML$) и параллельна медиане $Z_1T$. Обозначим $T'$ середину $MN$. Тогда $LT'$ — медиана в $\triangle MNL$. Так как $\triangle MNL$ и $\triangle X_1Y_1Z_1$ конгруэнтны и параллельны, то медиана $Z_1T$ параллельна медиане $LT'$. Значит, прямая $p$ параллельна $LT'$.
7. Рассмотрим $\triangle MLT'$. Прямая $p$ проходит через середину стороны $ML$ (точку $S$) параллельно стороне $LT'$. Следовательно, $p$ является средней линией этого треугольника. Она пересекает сторону $MT'$ в её середине. Обозначим эту точку $K$.
8. Точка $K$ и есть искомая точка. Она лежит на отрезке $MN$ (так как $T'$ — середина $MN$). Поскольку $K$ — середина $MT'$, а $T'$ — середина $MN$, то $MK = \frac{1}{2}MT' = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MN) = \frac{1}{4}MN$.

Ответ: Искомая точка пересечения $K$ лежит на отрезке $MN$, соединяющем середины рёбер $XX_1$ и $YY_1$. Для её построения нужно найти середину $T'$ отрезка $MN$, а затем найти середину $K$ отрезка $MT'$.

б)

Для нахождения площади боковой поверхности призмы необходимо найти длину её ребра $a$.

1. Как установлено в пункте а), прямая $p$ полностью лежит в плоскости сечения $MNL$. Отрезок прямой $p$, расположенный внутри призмы, — это отрезок, высекаемый на прямой $p$ треугольником $MNL$.
2. Концами этого отрезка являются точки его пересечения со сторонами треугольника $MNL$. Прямая $p$ проходит через точку $S$ (середина $ML$) и пересекает сторону $MN$ в точке $K$. Таким образом, искомый отрезок — это $SK$.
3. Как было показано, отрезок $SK$ является средней линией в треугольнике $MLT'$, параллельной стороне $LT'$. Следовательно, длина отрезка $SK$ равна половине длины $LT'$: $SK = \frac{1}{2}LT'$.
4. $LT'$ — это медиана в равностороннем треугольнике $MNL$ со стороной $a$. Длина медианы в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Значит, $LT' = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
5. Тогда длина отрезка $SK$ равна $SK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
6. По условию, длина этого отрезка равна 10 см. Приравниваем и находим $a$:
   $\frac{a\sqrt{3}}{4} = 10 \implies a\sqrt{3} = 40 \implies a = \frac{40}{\sqrt{3}}$ см.
7. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей трёх её боковых граней. Каждая грань — это квадрат со стороной $a$.
   $S_{бок} = 3 \cdot a^2$.
8. Подставляем найденное значение $a$:
   $S_{бок} = 3 \cdot \left(\frac{40}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1600}{3} = 1600$ см².

Ответ: $1600 \text{ см}^2$.