Номер 130, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

130. Точка $A$ не лежит в плоскости параллелограмма $MNPQ$, а точка $B$ — середина отрезка $NA$ (рис. 177). Докажите, что плоскость $MBQ$ пересекает прямую $AP$.

Рис. 177

Для доказательства того, что плоскость $MBQ$ пересекает прямую $AP$, мы построим их общую точку, используя метод сечений.

1. Рассмотрим вспомогательную плоскость, проходящую через точки A, N и P. Обозначим ее $(ANP)$. Прямая $AP$ по определению целиком лежит в этой плоскости. Точка $B$ является серединой отрезка $NA$, поэтому она лежит на прямой $NA$, а значит, также принадлежит плоскости $(ANP)$.
2. Теперь рассмотрим две плоскости: заданную плоскость $(MBQ)$ и вспомогательную плоскость $(ANP)$. Точка $B$ является их общей точкой, так как она по определению принадлежит плоскости $(MBQ)$ и, как мы показали, принадлежит плоскости $(ANP)$. Поскольку плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $l$.
3. По условию, фигура $MNPQ$ является параллелограммом, следовательно, ее противоположные стороны параллельны, то есть $MQ \parallel NP$.
4. Прямая $MQ$ лежит в плоскости $(MBQ)$ (так как точки $M$ и $Q$ принадлежат ей). Прямая $NP$ лежит в плоскости $(ANP)$ (так как точки $N$ и $P$ принадлежат ей).
5. Согласно теореме о пересечении двух плоскостей, если две пересекающиеся плоскости ($(MBQ)$ и $(ANP)$) проходят через две параллельные прямые ($MQ$ и $NP$ соответственно), то линия их пересечения ($l$) параллельна этим прямым. Таким образом, $l \parallel NP$ и $l \parallel MQ$.
6. Мы знаем, что прямая $l$ проходит через общую точку $B$. Следовательно, $l$ — это прямая, проходящая через точку $B$ параллельно прямой $NP$.
7. Рассмотрим теперь взаимное расположение прямых $l$ и $AP$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ANP)$. Они не могут быть параллельны. Если предположить, что $l \parallel AP$, то из $l \parallel NP$ следовало бы, что $AP \parallel NP$. Однако прямые $AP$ и $NP$ имеют общую точку $P$. Две различные прямые, имеющие общую точку, не могут быть параллельны (они пересекаются). Они могли бы совпадать, но это означало бы, что точка $A$ лежит на прямой $NP$, а следовательно, в плоскости параллелограмма $(MNPQ)$, что противоречит условию задачи. Значит, прямые $l$ и $AP$ не параллельны.
8. Поскольку прямые $l$ и $AP$ лежат в одной плоскости $(ANP)$ и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$.
9. Таким образом, мы нашли точку $K$, которая одновременно принадлежит прямой $AP$ (так как $K = l \cap AP$) и плоскости $(MBQ)$ (так как точка $K$ лежит на прямой $l$, а прямая $l$ целиком лежит в плоскости $(MBQ)$).

Существование такой общей точки $K$ доказывает, что плоскость $(MBQ)$ пересекает прямую $AP$.

Ответ: Утверждение доказано.