Номер 124, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

124. Через вершину $P$ ромба $PQRS$ проведена прямая $a$, параллельная диагонали $QS$, а через вершину $R$ — прямая $b$, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что:

а) прямые $a$ и $RS$ пересекаются;

б) $a$ и $b$ скрещиваются.

Обозначим плоскость, в которой лежит ромб PQRS, как $\alpha$.

а) прямые a и RS пересекаются;

1. Согласно условию, прямая a проходит через вершину P ромба. Точка P принадлежит плоскости ромба $\alpha$, то есть $P \in \alpha$.

2. Также по условию, прямая a параллельна диагонали QS: $a \parallel QS$. Диагональ QS полностью лежит в плоскости ромба $\alpha$, то есть $QS \subset \alpha$.

3. Если прямая проходит через точку, лежащую в плоскости, и параллельна другой прямой, лежащей в той же плоскости, то вся эта прямая лежит в данной плоскости. Следовательно, прямая a целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

4. Прямая RS является стороной ромба, поэтому она также целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($RS \subset \alpha$).

5. Таким образом, прямые a и RS лежат в одной плоскости $\alpha$. Две прямые в одной плоскости могут либо пересекаться, либо быть параллельными.

6. Предположим, что прямые a и RS параллельны: $a \parallel RS$.

7. Из условия задачи известно, что $a \parallel QS$.

8. Из двух предыдущих утверждений ($a \parallel RS$ и $a \parallel QS$) по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $RS \parallel QS$.

9. Однако это утверждение ложно. Прямые RS (сторона ромба) и QS (диагональ ромба) имеют общую точку S, то есть пересекаются, а значит, не могут быть параллельны.

10. Полученное противоречие означает, что наше предположение о параллельности прямых a и RS неверно.

11. Поскольку прямые a и RS лежат в одной плоскости и не параллельны друг другу, они должны пересекаться.

Ответ: Доказано, что прямые a и RS пересекаются.

б) a и b скрещиваются.

Для доказательства воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

1. В пункте а) было установлено, что прямая a полностью лежит в плоскости ромба $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

2. По условию, прямая b проведена через вершину R и не лежит в плоскости ромба $\alpha$. Это означает, что прямая b пересекает плоскость $\alpha$ в одной единственной точке — точке R.

3. Теперь необходимо показать, что точка пересечения прямой b с плоскостью $\alpha$ (то есть точка R) не лежит на прямой a.

4. Предположим обратное: точка R принадлежит прямой a ($R \in a$).

5. Прямая a также проходит через точку P. Если точки P и R лежат на прямой a, то прямая a совпадает с прямой PR, которая является диагональю ромба.

6. По условию, прямая a параллельна диагонали QS ($a \parallel QS$). Если a совпадает с PR, то получается, что $PR \parallel QS$.

7. Однако PR и QS — это диагонали ромба. Диагонали ромба пересекаются в одной точке, следовательно, они не могут быть параллельны.

8. Мы пришли к противоречию. Значит, наше предположение, что $R \in a$, неверно. Таким образом, точка R не лежит на прямой a ($R \notin a$).

9. Итак, мы установили:

• Прямая a лежит в плоскости $\alpha$.
• Прямая b пересекает плоскость $\alpha$ в точке R.
• Точка пересечения R не принадлежит прямой a.

Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещиваются.

Ответ: Доказано, что прямые a и b скрещиваются.