Номер 117, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

117. Точки $M$ и $N$ выбраны на скрещивающихся прямых $a$ и $b$ соответственно. Через прямую $a$ и точку $N$ проведена плоскость $\alpha$, а через прямую $b$ и точку $M$ — плоскость $\beta$. Определите:

а) лежит ли прямая $b$ в плоскости $\alpha$;

б) пересекаются ли плоскости $\alpha$ и $\beta$, и если они пересекаются, то по какой прямой.

а) По условию задачи прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Плоскость $\alpha$ построена так, что она проходит через прямую $a$. Если бы прямая $b$ также лежала в плоскости $\alpha$, то это означало бы, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости, что противоречит условию их скрещивания. Следовательно, прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$. Прямая $b$ лишь пересекает плоскость $\alpha$ в точке $N$, так как по построению $N \in \alpha$ и по условию $N \in b$.
Ответ: Нет, прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.

б) Чтобы определить линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, найдем их общие точки.

• Рассмотрим точку $M$. По условию, точка $M$ лежит на прямой $a$ ($M \in a$). Так как вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Также по условию, плоскость $\beta$ проходит через точку $M$, следовательно, $M \in \beta$. Таким образом, точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
• Рассмотрим точку $N$. По условию, точка $N$ лежит на прямой $b$ ($N \in b$). Так как вся прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, то и точка $N$ лежит в плоскости $\beta$ ($N \in \beta$). Также по условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $N$, следовательно, $N \in \alpha$. Таким образом, точка $N$ также является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не пересекаются, а значит точки $M$ (лежащая на $a$) и $N$ (лежащая на $b$) различны ($M \neq N$). Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. В нашем случае плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют две общие различные точки $M$ и $N$. Следовательно, они пересекаются по прямой $MN$.
Ответ: Да, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $MN$.