Номер 112, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

112. Точка $P$ выбрана на ребре $LL_1$ куба $KLMNK_1L_1M_1N_1$ (рис. 161). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения с плоскостью $M_1N_1M$ прямой $q$, проходящей через точку $P$ и параллельной прямой $NK_1$.

Рис. 161

Для решения задачи необходимо выполнить построение точки пересечения прямой $q$ с плоскостью $(M_1N_1M)$. Прямая $q$ проходит через точку $P$ на ребре $LL_1$ и параллельна прямой $NK_1$.

1. Анализ параллельности прямых

В первую очередь установим ключевое свойство, необходимое для построения. Рассмотрим четырехугольник $NK_1L_1M$. В кубе ребра, не имеющие общих вершин и параллельные одной плоскости, равны и параллельны. Ребро $MN$ параллельно и равно ребру $L_1K_1$, так как оба они параллельны и равны ребру $LK$. Следовательно, четырехугольник $MNK_1L_1$ является параллелограммом. Из этого следует, что прямая $NK_1$ параллельна прямой $ML_1$.

Можно также доказать это с помощью векторов. Введем систему координат с началом в точке $L$ и осями, направленными вдоль ребер $LK$, $LM$, $LL_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда вершины имеют координаты: $N(a,a,0)$, $K_1(a,0,a)$, $M(0,a,0)$, $L_1(0,0,a)$.

Вектор $\vec{NK_1}$ имеет координаты: $\vec{NK_1} = (a-a, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Вектор $\vec{ML_1}$ имеет координаты: $\vec{ML_1} = (0-0, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Поскольку $\vec{NK_1} = \vec{ML_1}$, прямые $NK_1$ и $ML_1$ параллельны.

2. Определение плоскости, содержащей прямую $q$

По условию задачи прямая $q$ проходит через точку $P$ и параллельна $NK_1$. Так как мы доказали, что $NK_1 \parallel ML_1$, то по свойству транзитивности прямая $q$ также параллельна прямой $ML_1$ ($q \parallel ML_1$).

Точка $P$ лежит на ребре $LL_1$, которое является частью грани $LMM_1L_1$. Прямая $ML_1$ также полностью лежит в плоскости этой грани, так как точки $M$ и $L_1$ являются ее вершинами. Поскольку прямая $q$ проходит через точку $P$, принадлежащую плоскости $(LMM_1L_1)$, и параллельна прямой $ML_1$, лежащей в той же плоскости, то вся прямая $q$ лежит в плоскости $(LMM_1L_1)$.

3. Нахождение точки пересечения

Нам нужно найти точку пересечения прямой $q$ с плоскостью $(M_1N_1M)$. Эта плоскость совпадает с плоскостью грани $MNN_1M_1$.

Искомая точка пересечения $Q$ должна одновременно принадлежать прямой $q$ и плоскости $(MNN_1M_1)$. Так как прямая $q$ лежит в плоскости $(LMM_1L_1)$, то точка $Q$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(LMM_1L_1)$ и $(MNN_1M_1)$.

Плоскости $(LMM_1L_1)$ и $(MNN_1M_1)$ — это смежные грани куба, которые пересекаются по общему ребру $MM_1$.

Следовательно, искомая точка $Q$ является точкой пересечения прямой $q$ и прямой, содержащей ребро $MM_1$.

4. Построение

На основании сделанных выводов, построение выполняется следующим образом:

1. Рассматриваем грань $LMM_1L_1$. В плоскости этой грани проводим диагональ $ML_1$.
2. Через заданную точку $P$ на ребре $LL_1$ проводим прямую $q$ параллельно диагонали $ML_1$.
3. Находим точку пересечения прямой $q$ с прямой, содержащей ребро $MM_1$. Эта точка и будет искомой точкой $Q$.

Геометрически, в плоскости грани $LMM_1L_1$ мы строим прямую $q$ через $P$ параллельно $ML_1$. Эта прямая пересечет прямую $MM_1$ в искомой точке $Q$.

Ответ: Искомая точка $Q$ является точкой пересечения прямой, проходящей через точку $P$ параллельно диагонали $ML_1$, с прямой, содержащей ребро $MM_1$.