Номер 114, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

114. На ребре $GH$ треугольной пирамиды $FGHK$ с равными друг другу рёбрами выбрана такая точка $T$, что $HT : TG = 1 : 3$, и через неё проведена прямая $h$, параллельная медиане $HM$ боковой грани $KHF$ и пересекающая поверхность пирамиды в точке $R$. Найдите ребро пирамиды, учитывая, что $TR = 6 \text{ см}$.

Поскольку в треугольной пирамиде $FGHK$ все рёбра равны друг другу, она является правильным тетраэдром. Все её грани — равносторонние треугольники. Обозначим длину ребра пирамиды через $a$.

Точка $T$ лежит на ребре $GH$ и делит его в отношении $HT : TG = 1 : 3$. Длина ребра $GH$ равна $a$, следовательно, $HT = \frac{1}{1+3} GH = \frac{1}{4}a$.

$HM$ — медиана боковой грани $KHF$. Так как грань $KHF$ — равносторонний треугольник со стороной $a$, длина её медианы $HM$ вычисляется по формуле:$HM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Прямая $h$, проходящая через точку $T$, параллельна медиане $HM$. Точка $R$ — это точка пересечения прямой $h$ с поверхностью пирамиды. Таким образом, отрезок $TR$ лежит на прямой $h$, и, следовательно, $TR \parallel HM$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину $H$. Введем базисные векторы: $\vec{g} = \vec{HG}$, $\vec{k} = \vec{HK}$, $\vec{f} = \vec{HF}$. Поскольку это правильный тетраэдр, длины этих векторов равны $a$, а углы между ними — $60^\circ$:$|\vec{g}| = |\vec{k}| = |\vec{f}| = a$$\vec{g} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{f} = \vec{f} \cdot \vec{g} = a^2 \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$.

Выразим векторы $\vec{HT}$ и $\vec{HM}$ через базисные. Положение точки $T$ на ребре $GH$ задаётся вектором:$\vec{HT} = \frac{1}{4}\vec{HG} = \frac{1}{4}\vec{g}$.

Точка $M$ — середина ребра $KF$. Вектор $\vec{HM}$ можно выразить через векторы $\vec{HK}$ и $\vec{HF}$:$\vec{HM} = \vec{HK} + \vec{KM} = \vec{HK} + \frac{1}{2}\vec{KF} = \vec{HK} + \frac{1}{2}(\vec{HF} - \vec{HK}) = \frac{1}{2}\vec{HK} + \frac{1}{2}\vec{HF} = \frac{1}{2}(\vec{k} + \vec{f})$.

Прямая $h$ ($TR$) проходит через точку $T$ параллельно вектору $\vec{HM}$. Её векторное уравнение в параметрическом виде:$\vec{HR}(\lambda) = \vec{HT} + \lambda \cdot \vec{HM} = \frac{1}{4}\vec{g} + \lambda \frac{1}{2}(\vec{k} + \vec{f})$, где $\lambda$ — параметр. Точка $T$ соответствует $\lambda = 0$.

Точка $R$ лежит на поверхности пирамиды. Так как $T$ лежит на ребре $GH$, то $R$ должна лежать на одной из граней, не содержащих ребро $GH$. Судя по направлению векторов, прямая $h$ пересечёт грань $FGK$. Точка $P$ лежит в плоскости грани $FGK$ тогда и только тогда, когда вектор $\vec{HP}$ можно представить в виде линейной комбинации $\vec{HP} = (1-\alpha-\beta)\vec{g} + \beta\vec{k} + \alpha\vec{f}$ для некоторых скаляров $\alpha$ и $\beta$. Приравняем два выражения для вектора $\vec{HR}$:$\frac{1}{4}\vec{g} + \frac{\lambda}{2}\vec{f} + \frac{\lambda}{2}\vec{k} = (1-\alpha-\beta)\vec{g} + \alpha\vec{f} + \beta\vec{k}$.

Так как векторы $\vec{g}$, $\vec{k}$, $\vec{f}$ некомпланарны (образуют базис), мы можем приравнять коэффициенты при них:

• При $\vec{f}$: $\alpha = \frac{\lambda}{2}$
• При $\vec{k}$: $\beta = \frac{\lambda}{2}$
• При $\vec{g}$: $1-\alpha-\beta = \frac{1}{4}$

Подставим $\alpha$ и $\beta$ в третье уравнение:$1 - \frac{\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} = \frac{1}{4}$$1 - \lambda = \frac{1}{4}$$\lambda = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Мы нашли значение параметра $\lambda$, при котором прямая пересекает плоскость $FGK$. Вектор $\vec{TR}$ равен $\vec{HR} - \vec{HT} = (\frac{1}{4}\vec{g} + \lambda \vec{HM}) - \frac{1}{4}\vec{g} = \lambda \vec{HM}$. Таким образом, $\vec{TR} = \frac{3}{4}\vec{HM}$.

Длина отрезка $TR$ равна:$|\vec{TR}| = \left|\frac{3}{4}\vec{HM}\right| = \frac{3}{4}|\vec{HM}|$. Подставим известные значения: $TR = 6$ см и $|\vec{HM}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.$6 = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$$6 = \frac{3a\sqrt{3}}{8}$$48 = 3a\sqrt{3}$$16 = a\sqrt{3}$$a = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: ребро пирамиды равно $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.