Номер 109, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

109. На отрезке $AB$, конец $A$ которого принадлежит плоскости $\alpha$, выбрана точка $C$, и через точки $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

Найдите отрезок $CC_1$, учитывая, что:

а) точка $C$ — середина отрезка $AB$ и $BB_1 = 14$ см;

б) $AC : CB = 3 : 2$ и $BB_1 = 50$ см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Рассмотрим фигуру, образованную отрезком AB и параллельными прямыми $CC_1$ и $BB_1$.

Так как точка A лежит в плоскости α, а точки $C_1$ и $B_1$ являются точками пересечения прямых, проходящих через C и B, с этой плоскостью, то точки A, $C_1$ и $B_1$ лежат на одной прямой в плоскости α.

Прямые $CC_1$ и $BB_1$ параллельны по условию. Точки A, C, B лежат на одной прямой. Следовательно, треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$ подобны по двум углам (угол при вершине A у них общий, а углы $\angle AC_1C$ и $\angle AB_1B$ равны как соответственные при параллельных прямых $CC_1$ и $BB_1$ и секущей $AB_1$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:

$\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}$

Используем это соотношение для решения обоих пунктов задачи.

а) точка C — середина отрезка AB и $BB_1 = 14$ см;

Если C — середина отрезка AB, то длина отрезка AC составляет половину длины отрезка AB. Таким образом, отношение $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$.

Подставим известные значения в формулу пропорциональности:

$\frac{1}{2} = \frac{CC_1}{BB_1}$

Зная, что $BB_1 = 14$ см, находим $CC_1$:

$CC_1 = \frac{1}{2} \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

В данном случае отрезок $CC_1$ также является средней линией треугольника $ABB_1$, так как он соединяет середину стороны AB и параллелен стороне $BB_1$. Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны.

Ответ: 7 см.

б) $AC : CB = 3 : 2$ и $BB_1 = 50$ см.

По условию, отношение отрезков $AC$ и $CB$ равно $3:2$. Это означает, что весь отрезок AB можно представить как сумму частей: $AB = AC + CB$. Если принять одну часть за $x$, то $AC = 3x$ и $CB = 2x$. Тогда $AB = 3x + 2x = 5x$.

Найдем отношение длины отрезка AC к длине всего отрезка AB:

$\frac{AC}{AB} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$

Теперь подставим это отношение и известную длину $BB_1$ в формулу пропорциональности:

$\frac{3}{5} = \frac{CC_1}{BB_1}$

Подставляем значение $BB_1 = 50$ см и находим $CC_1$:

$\frac{3}{5} = \frac{CC_1}{50}$

$CC_1 = \frac{3}{5} \cdot 50 = 3 \cdot 10 = 30$ см.

Ответ: 30 см.