Номер 105, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

105. Точка $P$ лежит на продолжении ребра $NM$ параллелепипеда $LKMNN_1K_1M_1N_1$. Найдите расстояние от точки $N$ до точки пересечения прямой $M_1P$ с плоскостью $LL_1N$, учитывая, что $MM_1 = 24$ м, $NM = 12$ м, $PM = 18$ м.

Пусть $X$ — точка пересечения прямой $M_1P$ с плоскостью $LL_1N$. Нам нужно найти расстояние $NX$.

Плоскость $LL_1N$ является гранью параллелепипеда, которую также можно обозначить как $LL_1N_1N$.

Рассмотрим плоскость, в которой лежит прямая $M_1P$. Точка $P$ лежит на продолжении ребра $NM$, следовательно, точки $N$, $M$ и $P$ лежат на одной прямой. Прямая $M_1P$ проходит через точку $M_1$ и точку $P$, лежащую на прямой $NM$. Таким образом, прямая $M_1P$ целиком лежит в плоскости, определяемой точками $N, M, M_1$. Эта плоскость является гранью параллелепипеда $NMM_1N_1$.

Точка пересечения $X$ прямой $M_1P$ и плоскости $LL_1N_1N$ должна принадлежать обеим этим плоскостям. Линией пересечения плоскостей $NMM_1N_1$ и $LL_1N_1N$ является их общее ребро $NN_1$. Следовательно, точка $X$ лежит на прямой $NN_1$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки пересечения $X$ двух прямых $M_1P$ и $NN_1$, которые лежат в одной плоскости $(NMM_1)$.

Рассмотрим плоскость $NMM_1N_1$. В этой плоскости лежат отрезки $MM_1$ и $NN_1$, которые являются противоположными сторонами грани параллелепипеда, а значит, они параллельны: $MM_1 \parallel NN_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle PMM_1$ и $\triangle PNX$.

• $\angle P$ — общий для обоих треугольников.
• Так как $MM_1 \parallel NX$ (поскольку $X$ лежит на прямой $NN_1$), и прямая $PX$ является секущей, то соответственные углы при параллельных прямых равны: $\angle PM_1M = \angle PXN$.

Следовательно, треугольники $\triangle PMM_1$ и $\triangle PNX$ подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$ \frac{PN}{PM} = \frac{NX}{MM_1} = \frac{PX}{PM_1} $

Найдем длины известных отрезков:

• $MM_1 = 24$ м (по условию).
• $PM = 18$ м (по условию).
• Точка $P$ лежит на продолжении ребра $NM$, значит, точки расположены в порядке $N-M-P$. Тогда $PN = NM + PM = 12 \text{ м} + 18 \text{ м} = 30$ м.

Используем соотношение из подобия для нахождения $NX$:$ \frac{PN}{PM} = \frac{NX}{MM_1} $$ \frac{30}{18} = \frac{NX}{24} $

Выразим $NX$:$ NX = 24 \cdot \frac{30}{18} = 24 \cdot \frac{5}{3} = 8 \cdot 5 = 40 $ м.

Расстояние от точки $N$ до точки пересечения $X$ равно 40 м.

Ответ: 40 м.