Номер 113, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

113. Через вершины $D$ и $Q$ треугольника $PDQ$ со стороной $PQ$, равной 20 см, проведена плоскость $\alpha$, которой не принадлежит вершина $P$. Учитывая, что прямая $x$ параллельна прямой $PQ$ и пересекает сторону $PD$ в такой точке $C$, что $PC : CD = 2 : 3$:

а) докажите, что прямая $x$ пересекает плоскость $\alpha$;

б) найдите расстояние от точки $C$ до точки пересечения прямой $x$ с плоскостью $\alpha$.

а) Докажем, что прямая $x$ пересекает плоскость $\alpha$.

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через вершины $D$ и $Q$ треугольника $PDQ$. Это означает, что вся прямая $DQ$ лежит в плоскости $\alpha$ ($DQ \subset \alpha$).

Прямая $x$ проходит через точку $C$ на стороне $PD$ и параллельна прямой $PQ$. Так как точки $P, D, Q, C$ лежат в одной плоскости (плоскости треугольника $PDQ$), то и прямая $x$, проходящая через точку $C$ параллельно $PQ$, также лежит в этой плоскости, которую обозначим $(PDQ)$.

Плоскости $\alpha$ и $(PDQ)$ не совпадают, так как точка $P \in (PDQ)$, но по условию $P \notin \alpha$. Линией пересечения этих двух различных плоскостей является прямая $DQ$, поскольку обе плоскости содержат точки $D$ и $Q$.

Прямая $x$ лежит в плоскости $(PDQ)$. Для того, чтобы прямая $x$ пересекла плоскость $\alpha$, она должна пересечь линию их пересечения — прямую $DQ$. Рассмотрим прямые $x$ и $DQ$ в плоскости $(PDQ)$. Они не могут быть параллельны. Если бы $x \parallel DQ$, то, учитывая условие $x \parallel PQ$, мы бы получили, что $PQ \parallel DQ$. Это невозможно, так как $PQ$ и $DQ$ являются сторонами треугольника с общей вершиной $Q$.

Поскольку прямые $x$ и $DQ$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке $M$. Так как точка $M$ лежит на прямой $DQ$, а $DQ \subset \alpha$, то $M \in \alpha$. Следовательно, $M$ является точкой пересечения прямой $x$ и плоскости $\alpha$.

Таким образом, доказано, что прямая $x$ пересекает плоскость $\alpha$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Найдем расстояние от точки $C$ до точки пересечения прямой $x$ с плоскостью $\alpha$.

Из пункта а) мы знаем, что точка пересечения прямой $x$ и плоскости $\alpha$ — это точка $M$, в которой прямая $x$ пересекает прямую $DQ$. Расстояние, которое нужно найти, — это длина отрезка $CM$.

Все дальнейшие рассуждения проводятся в плоскости треугольника $PDQ$. В этом треугольнике прямая $x$ (проходящая через точки $C$ и $M$) параллельна стороне $PQ$. Таким образом, $CM \parallel PQ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DCM$ и $\triangle PDQ$. Они подобны, так как:

• $\angle D$ — общий угол.
• $\angle DCM = \angle DPQ$ как соответственные углы при параллельных прямых $CM$ и $PQ$ и секущей $PD$.

Поскольку $\triangle DCM \sim \triangle PDQ$, их соответственные стороны пропорциональны:

$$ \frac{CM}{PQ} = \frac{DC}{DP} = \frac{DM}{DQ} $$

По условию задачи $PQ = 20$ см и $PC : CD = 2 : 3$. Из отношения $PC : CD$ найдем отношение $\frac{DC}{DP}$:

$$ DP = PC + CD $$

$$ \frac{DC}{DP} = \frac{CD}{PC+CD} = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5} $$

Теперь подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{CM}{20} = \frac{3}{5} $$

Отсюда находим длину отрезка $CM$:

$$ CM = 20 \cdot \frac{3}{5} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} $$

Ответ: 12 см.