Номер 118, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

118. Докажите, что если $AB$ и $CD$ — скрещивающиеся прямые, то $AD$ и $BC$ — также скрещивающиеся прямые.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

По условию задачи, прямые $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Из этого следует, что четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не могут лежать в одной плоскости, так как если бы они лежали в одной плоскости, то и прямые $AB$ и $CD$, проходящие через эти точки, также лежали бы в этой плоскости, что противоречит условию.

Теперь сделаем предположение, обратное тому, что требуется доказать: пусть прямые $AD$ и $BC$ не являются скрещивающимися. Это означает, что они либо пересекаются, либо параллельны.

В обоих случаях (и для пересекающихся, и для параллельных прямых) существует единственная плоскость, в которой они обе лежат. Назовем эту плоскость $\alpha$.

Таким образом, из нашего предположения следует, что прямые $AD$ и $BC$ лежат в плоскости $\alpha$.
Если прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, то и ее точки $A$ и $D$ принадлежат этой плоскости.
Аналогично, если прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и ее точки $B$ и $C$ принадлежат этой плоскости.

Отсюда мы делаем вывод, что все четыре точки $A, B, C$ и $D$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Но если все четыре точки лежат в одной плоскости $\alpha$, то и прямые $AB$ (проходящая через точки $A$ и $B$) и $CD$ (проходящая через точки $C$ и $D$) должны лежать в этой же плоскости $\alpha$.

Это приводит нас к противоречию с исходным условием задачи, согласно которому прямые $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися и, следовательно, не могут лежать в одной плоскости.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, прямые $AD$ и $BC$ не могут быть пересекающимися или параллельными, а значит, они являются скрещивающимися.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямые $AB$ и $CD$ — скрещивающиеся, то прямые $AD$ и $BC$ — также скрещивающиеся прямые.